// В МИРЕ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2011 - №1 (13), стр. 160-167

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПРИ ЦЕНОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Кудрин Борис Иванович,

доктор технических наук, профессор

Московский Энергетический институт (технический университет)

г. Москва, Россия

По материалам доклада на конференции, посвященной 300-летию Л. Эйлера (СПб., Санкт-Петербургский государственный университет, 15-17 мая 2007 г.). М: Технетика, 2007. 8 с.

Связав воедино представления пифагорейцев, взгляды Платона, физики и математики XIX и XX веков, биологии, современные представления ценологической теории, основанной на законах и постулатах третьей научной картины мира, автор предложил аппарат устойчивости гиперболического Н-распределения, логически завершающий работы Л. Эйлера, наметившего пути и подступившего к изучению проблемы простых чисел. Убедительно продемонстрирована неразрывная связь философии, математики, биологии и технетики, предлагающая простые методы (подкреплённые математическим и программным обеспечением) для решения многочисленных проблем постиндустриального общества.

Ключевые слова: ценоз; структура ценоза; видовое и ранговидовое распределение; моделирование устойчивости структуры ценозов простыми числами.

THE USE OF SIMPLE NUMBERS MODELS

IN COENOLOGICAL RESEARCHES

Boris Kudrin,

doctor of Science in Engineering, Professor

Moscow Power Engineering Institute (Technical University)

coenose@rambler.ru

According to the report at the conference dedicated to the 300-th anniversary of L. Euler (St.-Petersburg State University, 15-17 of May, 2007). M: Technetics, 2008. P. 8.

Putting together the Piphagor's followers' conception, views of Platon, physics and mathematics of XIX and XX centures, biology, up-today ideas of coenological theory based on the laws and postulates of the third scientific picture of the world, the author offered the machinery of hyperbolic H-distribution stability, logically finishing the works of L. Euler contemplating the ways and coming up to the study of simple numbers models. An uninterrupted link between philosophy, mathematics, biology and technetics offering simple methods confirming by mathematical and programme supply) for deciding the numerous problems of postindustrial society are convincingly demonstrated.

Пифагорейское утверждение, что числа правят миром, порождает иногда странное, порой мистическое ощущение, когда совершенно абстрактные построения вдруг опережающе раскрывают бытие, как у Дирака, который "открыл на кончике пера" позитрон; как алгебра Буля, руководствуясь которой, "соображает" вся компьютерная техника. Обнаружив в начале 70-х годов прошлого века, что сообщества изделий самых различных объектов ведут себя как ценозы (coenose), определена тем самым устойчивость формирования цехов, предприятий, отраслей (квартир, городов) различным оборудованием такая, что структура установленного ремонтируемого) подчиняется некоторому закону информационного отбора [1], использующего ключевые дарвиновские представления. Поскольку устойчивость структуры, как и устойчивость соотношения "крупое-среднее-мелкое", проверена на 2,5 млн. единиц оборудования и генеральной совокупности предприятий чёрной металлургии (см. сайт kudrinbi.ru), и заявлена как открытие с приоритетом 1977 г, то появилось желание объяснить обнаруженную устойчивость гиперболического Н-распределения.

Приняв на веру утверждения Платона об идеальном, я предложил модель, опирающуюся на простые числа [2], поскольку объективность появления очередного дискретно-целого числа не вызывала у меня сомнения (в какой бы системе исчисления ни проводить рассмотрение). Тогда естественно было обратиться к Эйлеру, имеющиеся труды которого (и ссылки на его работы в этой части) позволили сделать вывод о фундаментальности его подхода. Но оказалось, что он не считал количество штук-особей простых чисел в факториале того простого числа, которое он определял по своим моделям.

Задача определения очередного простого числа, больше известного произвольного натурального числа x, по известным простым числам, меньшим х, впервые поставлена именно Эйлером, который ввёл функцию:

, (1)

где - функция Эйлера, равная количеству простых чисел, меньших х.

В нашей постановке число видов S единиц-особей оборудования U равно функции Эйлера , а х равен натуральному числу N. Факториал натурального простого числа используется вместо произвольного числа, так как существует ряд предельных теорем, связывающих число N с особями - простыми сомножителями. Например, число саранчёвых особей (число двоек), в данном случае приближённо равно N. Модель машинно реализована путём непосредственного получения простых чисел, используя разложение составных чисел на простые сомножители.

Сделаем предварительные пояснения. Пусть задано множество элементов - простых сомножителей (единиц, штук, особей) , которые образуют текст длиной T (общий перечень особей u), и пусть каждая особь-штука классифицируется так, что может быть отнесена к тому или иному виду. Тогда общее количество видов s составит словарь объёмом V. Особи одной численности объединяются в популяции (виды, представленные одинаковым количеством особей), образуя группы , называемые кастами. Утверждается, что между значениями i =1, 2, ... и частотой (вероятностью появления группы-касты) есть зависимость, отражаемая кривой (гиперболической), параметры которой сохраняются для всех без исключения ценозов. Ошибочно предполагавшееся ранее существование и возможность отыскания некоторого "идеального" видового распределения, которое и есть H-распределение, имеющее идеальные H-параметры в том числе идеальное значение характеристического показателя а, идеальное значение каст ноевой (первой точки - начала гиперболы) и саранчёвой (её последних точек).

Пусть i =1, 2, 3, ... - возможная численность популяции; а_i - реализованная численность популяции (i - ряд, соответствующий натуральному ряду чисел; а_i - эмпирически найденные значения). Видовое распределение может быть получено из текста Т непосредственно, если выбрать вначале все виды, встретившиеся строго по одному разу, т. е. популяции, состоящие из одной особи a_i =1; они образуют тем самым первую (ноеву) касту к=1, общее число видов 5 в которой составляет wj, эмпирическая численность особей в касте — a\w\. Затем — все виды, представленные

двумя особями, тремя и т. д. (если все значимые строки нумеровать по порядку, то в этом случае число строк равно числу каст К, где К есть наличествующие популяции). Последовательность w_i назовём эмпирическим видовым распределением (распределением видов). Будем упрощённо считать однозначными обозначения :

, (2)

где - непрерывный аналог мощности (численности) популяций i (i - всегда дискретная величина, i=[x]); α > 0 - характеристический показатель; постоянная распределения ; W₀=AS, W₁=[W₀], где W₀- теоретическое, не обязательно дискретное значение, и W₁ - фактическое (экспериментальное) значение первой точки; А - постоянная распределения, которую находят из условий нормировки (хотя это теоретически и ошибочно из-за отсутствия математического ожидания и бесконечности дисперсии).

Обозначим через N₀ самую мощную (саранчёвую) популяцию (касту y), т. е. численность вида, представленного наибольшим количеством особей. Тогда численность популяций в ценозе может иметь значения i =1, 2, …, N₀, фактически принимая лишь значения а_i.Запишем очевидные соотношения для объёма словаря - перечня (списка) всех встретившихся слов выделенного семейства в исследуемом ценозе:

длины текста- списка всех и каждого «отловленного», охватывающего общее количество встретившихся (индефицируемых) штук-особей:

и относительной частоты появления касты, определяемой эмпирически и описываемой непрерывной кривой

, (5)

где 1>A>0; α > 0 – константы, соответствующие (2).

Заметим, что и . Тогда

что приводит к (2).

Видовые распределения отличаются характером изменения w_j. Устойчивую зависимость показывают: "гипербола"; для S(U) характерно относительно более медленное увеличение количества видов при увеличении выборки штук-особей (характер кривой объясняет уменьшение А выражениях (2) и (5) и увеличение повторяемости d=U/S); – ноева каста (при увеличении выборки эта величина медленно уменьшается, как того требует теорема Гнеденко-Дёблина).

Вторая форма H-распределения: ранговидовое распределение . Оно по определению получается из видового (ранговое распределение "свёртывается" в видовое, образуя обычно более короткую запись, и братно): u_r - количество особей вида s_r (численность популяции s_r вида), соответствует рангу r при общем числе особей U (длина текста ). Ранг вида s = 1, 2, …, s_r …, S - это его порядковый номер (номер строки).

Последний номер S, равный количеству рангов, определяет объём словаря V, можно записать . Функция u_r =записывается в виде:

(7)

где В - абсолютная величина и характеристический показатель β > 0 - константы ранговидового гиперболического H-распределения (в наших исследованиях 0,5 ≤ β ≤ 1,5).

Опираясь на формулы (1) - (7), предложим "модель простых чисел" гиперболического H-распределения для изучения структуры физических, биологических, технических, информационных, социальных ценозов по критериям видового разнообразия и соотношения "крупное-мелкое".

Примем в качестве канонического дискретное распределение простых сомножителей в факториале некоторого числа N. Назовём видом любое простое число q_r, где r - номер простого числа натурального ряда чисел, абстрактно воспринимаемое, из ряда: 2, 3, 5, 7, …, 137, 139, 149, 151, …, 509, 521, 523, 541, ... (2⁷⁵⁶⁸³⁹-1).., а особью - появление этого простого числа как сомножителя (единица исключается) в любом из чисел натурального ряда. Тогда каждое натуральное число N_i> 1 представимо следующим образом:

(8)

где - степень (встречаемость) простого числа, r - ранг простого числа.

Например, N₂₀=20 состоит из сомножителей N₂₀=, где вид - двойка встретился как особь два раза, вид =5 - один раз ( - тройка), а в целом для факториала, например, N_i =101! двойка (саранчёвый вид) встретилась (как особь) m₁=97 раз, тройка - 48 раз (, ) и т. д., 11 простых чисел встретилось по одному разу (ноева каста). Последний номер r (для N_i= 101! r = 26) определяет число видов в системе S. Сумма чисел 97+48+24+...+1+1+1 (сумма особей всех видов) определяет число особей ценоза. Оценка численности первой касты производится с использованием теоремы о простых числах . Остальные числа ряда также получаются аналитически, однако проще и точнее (из-за дискретности величин) получать их прямым счётом. Мною предлагались ещё две модели, отличающиеся от (8), но они дали худшие результаты. Ранговое представление сомножителей простых чисел как модель ценозов можно применять в абсолютных числах как ряд, аналогичный, например N_i=1023!, если известно значение S (или U), или как относительную частоту.

Нумерация каст в видовом распределении имеет физический смысл: номер означает численность особей каждого из видов, т. е. классификация, в данном случае, естественная. Ошибки для редких видов (экспериментальные) перемещают вид из касты в соседнюю (также малочисленную), ошибки в определении числа особей для многочисленных видов, как правило, даже не меняют номер касты (при их сплошной нумерации). Это даёт однозначное распределение каст, канонизированное виде ряда простых чисел, т. е. при заданном S все остальные параметры получаются строго однозначно (например, N₀ - число двоек - есть численность саранчёвой касты К = 32; при ранговом распределении - численность первого ранга).

Модель простых чисел дает существенное отличие от представлений Хольцмарка, Лотки, Брэдфорда, Виллиса, Ципфа, Мандельброта: для заданного количества видов существует единственный ряд, однозначно определяющий гиперболическое H-распределение и его параметры. Может быть предложена теорема, подобная теореме Вейерштрасса.

При разложении каждого числа N_i натурального ряда на простые умножители существует алгоритм преобразования факториала N_s, где S - номер наибольшего простого числа в факториале такой, что начиная с которого произвольного числа исключением некоторых видов можно получить ряд, идентичный опытным (экспериментальным) гиперболическим H-рядам с поправкой, связанной с изменением числа сомножителей, равных их числу между N_s_-1 и N_s₊₁.

Модели простых чисел позволяют сформулировать некоторую особенность H-распределения, замеченную впервые мною: на видовой кривой H-распределения, до точки R (пойнтер-точки) непрерывной, имеются всплески и провалы, которые обязательны; на ранговой - расстояние между саранчёвыми видами неравномерно, а численности популяций растут нелинейно. Другими словами, структура ценозов "не сглаживается", отклонение не по Гауссу, а сколь угодно велико.

Обратим внимание ещё на возможность свёртки в ограниченное количество шагов (экспериментальный материал не содержит больше четырёх). По существу, видовое распределение есть свёртка рангового: 75 единиц объединено в одну касту и т. д. Но можно сделать следующий шаг: свернуть видовое распределение: в нём единиц - 21, двоек - три, далее 3, 4, 5, 7, 8, 14, 29, 75 - по одному. Но дальнейшая свёртка уже невозможна.

Рассматривая общность законов построения ценозов [3] и исследуя разнообразие и соотношение "крупное-мелкое", как правило, нечетко формулируется возможность переноса результатов из одной области знаний в другую. Изучение технических ценозов имеет преимущество в строгости перед биоценозами и в динамике - перед математической лингвистикой (вообще перед областью информационных и социальных исследований): во-первых, относительно устоявшиеся представления о системе показателей и структуре цеха, производства, завода; города, региона государства; во-вторых, бухгалтерскую, в идеале, статистику; в-третьих возможность отследить эволюцию вида, опускаясь до отдельной особи (большинство технических видов родилось на наших глазах). Типы техно-эволюции и биоэволюции - не сопоставимы, но взаимное моделирование многообещающе.

Реальное существование и эволюция ценозов могут быть описаны системой показателей-параметров, которые не обязательно представимы числом. Впрочем, и за числом зачастую видятся качественные отличия например, объём доменной печи или памяти компьютера.

Говоря о связях между видами (особями) одного ценоза, ещё раз обратим внимание на единичность связи типа хищник-жертва" Вольтера. Хотелось бы предложить модель значимых связей отдельных особей всех видов ценозов, основанную на качественной оценке её адекватности. Пусть задан натуральный ряд чисел. Для достаточно большого значения числа, казалось бы, разложение на простые сомножители (виды) должно давать "длинные" произведения. Но это оказалось не так. Возьмём часть ряда от одного простого числа до другого:

220333	простое число	220343	19∙11597
220334	2∙41∙2687	220344	2∙2∙2∙3∙9181
220035	3∙5∙37∙397	220345	5∙127∙347
220036	2∙2∙2∙2∙47∙293	220346	2∙7∙15739
220037	13∙17∙997	220347	3∙3∙3∙8161
220038	2∙3∙3∙12241	220348	2∙2∙31∙1777
220039	7∙31477	220349	179∙1231
220040	2∙2∙5∙23∙479	220350	2∙3∙5∙5∙1З∙113
220041	3∙11∙11∙607	220351	простое число
220042	2∙29∙29∙131

Среднее число связей, включая одно из простых чисел, составляет 3,7. Любопытно! Заметим, что отношение объёма текста
к объёму словаря для "Евгения Онегина" оказалось равным d = 4,51; для двигателей Карметкомбината d = 12,56. Конечно, есть саранчёвые всплески 2ⁿ, 3^m, но они лишь подтверждают ценологические свойства натурального ряда.

Вывод

Современный глобализующийся эволюционизм и требования инновационной модернизации поменяли производство, науку и искусство, повседневную жизнь. Принятие решения в этих условиях требует понимания, что первая классическая научная картина мира позволяет однозначно рассчитать изделие, описывает часть бытия; вторая - вероятно-статистическая, опирающаяся на вторую постнеклассическую картину, может сделать это изделие с отклонениями по массе, габаритам и пр. (по Гауссу), описывает большее число фактов. Предлагаемая ценологическая модель простых чисел служит одним из математических описаний постнеклассического ценологического мировоззрения, где математическое ожидание (среднее) не имеет смысла, а ошибка в точке может быть сколь угодно велика.

Литература

1. Кудрин Б.И. Античность. Символизм. Технетика. М.: Электрика, 1995. 120 с.

2. Ценологические исследования распределений простых чисел. 30-летие открытия. К 70-летию проф. Кудрина Б. И. / Науч. ред. Фуфаев В. В. М - Абакан: Центр системных исследований, 2004. - 144 с.

3. Кудрин Б.И. Мои семь отличий от Ципфа // Общая и прикладная ценология. - 2007. - №4.