// Электрика. – 2008. – № 2.– С. 45-47.

 

СЕМЬ ВЕЛИКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Б.А. Трубников, О.Б. Трубникова

Институт ядерного синтеза РНЦ "Курчатовский институт"

Институт биологии развития им. Н. К. Кольцова РАН

 

Показано, что все семь фундаментальных природных распределений частиц: 1) Ферми–Дирака (ФД); 2) Бозе–Эйнштейна (БЭ); 3) Планка (Пл); 4) Блоха (Бл для фононов); 5) Максвелла–Больцмана (МБ); 6) Гаусса (Га) и           7) распределение конкурентов – получаются всего лишь из двух букв (m, n) единообразным комбинаторным методом и приёмом Лагранжа с требованием максимума энтропии при двух дополнительных условиях, и их спектры содержат лишь по два параметра. Это единообразие и общность позволяют считать распределение конкурентов столь же хорошо обоснованным в математическом смысле, как и остальные шесть классических физических распределений.

1. Напомним основные положения статистической физики и сначала рассмотрим шесть физических распределений. Пару чисел N, K будем называть "малым набором". Как известно, N фермионов можно разместить поодиночке по K>N состояниям числом способов, равным биномиальному коэффициенту . Для бозонов имеем . Для частиц МаксвеллаБольцмана (максвеллонов) при K>>N можно приближённо положить , и тогда ; а для фононов Блоха при N>>K приближённо имеем , и тогда . Считая все числа большими и используя формулу Стирлинга, а также вводя среднее число частиц n=N/K в одном состоянии, запишем числа способов как , где функции fi=fi(n) равны соответственно:

                                     (1)

Число Сi называют статистическим весом состояния, а его логарифм  S=lnCi=Klnfi называют энтропией. И равновесие достигается тогда, когда числа Сi максимальны, а следовательно максимальна и энтропия S.

2. Далее считаем, что полное множество (система) состоит из независимых "малых наборов", и тогда стат-вес системы равен произведению стат-весов всех малых наборов. На этом этапе малым наборам следует присвоить индекс m, заменяя . Тогда полная энтропия запишется как сумма энтропий малых наборов

S=.                                                (2)

Требование её максимума должно выполняться при двух дополнительных условиях: когда считаются заданными суммарная энергия системы  и полное число частиц . Для этого по методу Лагранжа составляем комбинацию , и уравнения  дают соотношения . Нетрудно проверить, что подставляя сюда функции (1), получим соответствующие распределения

   .                                 (3)

Распределение Гаусса (пятое) можно получить из одномерного газа МаксвеллаБольцмана, а шестое распределение фотонов из распределения БозеЭйнштейна при нулевом химпотенциале (β=0).

Итак, мы получили все шесть физических распределений, анализируя сначала малые наборы с парой чисел (N, K), приписав индекс m среднему числу  и затем рассмотрев "большой набор" с суммарной энтропией.

3. Чтобы получить распределение конкурентов, следует избрать обратный путь. Сначала вводим "большой набор", для которого статистический вес (число возможных способов размещения множества  объектов по  группам) принимается равным

, , В=, Г=   .                                        (4)

Пользуясь формулой Стирлинга , получим произведения

Б=, В=, Г=, где б=, , ,       (5)

где е – основание натуральных логарифмов. Тогда число способов С запишется как

, где .                         (5)

Так что стат-вес "большого набора" равен произведению стат-весов "малых наборов", как это имеет место и в шести физических множествах. И, по аналогии с ними, его логарифм

, где                              (6)

назовём энтропией населённости большого набора конкурентов, а Sm энтропией населённости малого набора конкурентов. Вместо слова конкурент можно было бы употребить термин реципиент – получатель доли некоторого "ресурса" . Далее по методу Лагранжа составляем комбинацию  и уравнение . В случае ресурса  это даёт дифференциальный и интегральный спектры конкурентов:

,    .               (7)

В пределе  получим приближённую формулу , которую называют "законом Парето–Ципфа–Кудрина" (Б. И. Кудрин – создатель науки технетики о техноценозах). Она имеет огромное число применений (см. [1–3], но расходится в области малых значений m, так что учёт обрезающей экспоненты в спектрах (7) в принципе необходим всегда. Примером проявления обрезающей экспоненты является распределение по массам зародышевых ооцитов лягушки на стадии их роста, впервые полученное О. Б. Трубниковой и изображённое на рисунке.

Список литературы

1. Трубников Б. А., Трубникова О. Б. Пять великих распределений вероятностей//Природа. 2004. № 11. С. 13.

2. Trubnikov B. A.,Trubnikova O. B. Theory of Competition//Book of abstracts of 13th Gen. Conf. of the Eur. Phys. Soc. EPS-13 Bern, Switzerland, 11–15 July 2005. Invited report BR6-4-THU. Р.119.

3. Ричард Кох. Принцип 80/20 / Пер. с англ. Каштан. Минск: Изд-во "Попурри", 2004.

 

 

Рисунок. Распределение по массам зародышевых ооцитов лягушки на стадии их роста