//Электрика. – 2008. – № 10.– С. 16–22.
СБАЛАНСИРОВАННАЯ И РАЗБАЛАНСИРОВАННАЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ТРЁХФАЗНОГО ТОКА ИНТЕРФЕЙСА "ПОСТАВЩИК–ПОТРЕБИТЕЛЬ"
Ю.А. Сиротин
Национальный технический университет "Харьковский политехнический институт"
В трёхфазной синусоидальной системе дополнительные потери мощности обусловлены не только реактивностью нагрузки, но и её несимметричностью. Реактивность симметричной линейной нагрузки приводит к фазовому сдвигу между током и напряжением (одинаковому в каждой фазе) и появлению в полном токе реактивной составляющей (реактивный ток). Если активная и (или) реактивная нагрузки несимметричны, то в полном трёхфазном токе в точке (месте) подключения потребителя (интерфейс "поставщик–потребитель") можно выделить асимметричную компоненту тока (ток небаланса), обусловленную только несимметричностью. Ток небаланса приводит к искажению полного тока, которое нельзя описать фазовым сдвигом. Сумма активного и реактивного токов и тока небаланса даёт полный ток в рассматриваемом трёхфазном сечении (месте подключения потребителя). Из всех компонент тока только активный ток обеспечивает передачу электрической энергии. Остальные компоненты тока увеличивают действующую (среднеквадратичную) величину полного тока, вызывают дополнительные потери в системе и должны быть скомпенсированы.
В общем случае ток небаланса содержит компоненту обратной последовательности. Поэтому, кроме дополнительных потерь ток небаланса вызывает несимметрию (перекос) напряжения в точках подключения других потребителей системы. Несимметрия напряжения на шинах, к которым подключён идеальный потребитель (у него активная симметричная, линейная, неизменяющаяся во времени нагрузка), приводит к тому, что подача энергии даже такому идеальному потребителю не осуществляется с постоянной скоростью (мгновенная мощность осциллирует). При этом активная мощность отрицательной последовательности напряжения не преобразуется в полезный вращающий момент вала двигателей, а переходит в тепло и вибрацию.
Поскольку при ухудшении качества потребления одних потребителей системы ухудшается качество поставки для других потребителей (асимметричные нагрузки приводят к несимметрии напряжения), то, рассматривая в целом проблему качества электроэнергии, надо начинать с некачественных потребителей. Только сделав своё потребление качественным (например, по симметрии/несимметрии), потребитель имеет право предъявлять свои требования к поставщику.
Разложение полного тока на три компоненты можно осуществить в любом трёхфазном сечении (рассечке) системы. В точке подключения потребителя такое разложение на компоненты, каждая из которых однозначно обусловлена своей причиной неидеальности (некачественности) потребителя, является первичным в понимании теории мощности, а уравнение мощности для интерфейса "поставщик–потребитель" следует из этого разложения.
Ток небаланса при любом напряжении (симметричном или несимметричном) не равен нулю только при асимметричной нагрузке потребителя, что позволяет использовать измерение действующего значения этого тока для постоянного контроля (и дополнительной оплаты) искажающих воздействий именно этого потребителя.
Разложение полного тока даёт качественно ясную интерпретацию теории мощности с использованием компонент тока. Более того, оно позволяет создавать устройства, компенсирующие бесполезные для данного потребителя и даже вредные для всей системы составляющие тока (компенсаторы), а также измерители этих составляющих – для проведения научно-обоснованной дифференцированной политики штрафования неидеального потребителя различных уровней системы электроснабжения (с подключением измерителей в трёхфазную рассечку в нужном месте).
Постановка задачи. Для трёхфазных систем с несинусоидальными напряжениями и токами разложение тока на компоненты, связанные с различными физическими явлениями, было предложено L. S. Czarnecki [1]. Созданная им теория была названа теорией мощности физических токовых компонент (Currents’ Physical Components Power Theory – CPC Power Theory). В основу теории была положена концепция Fryze [2] о разложении тока на две составляющие: активный и неактивный (реактивный) токи. Czarnecki [1] разложил реактивный ток Fryze на ряд ортогональных компонент и предложил их физическое толкование. В последующих своих работах [3–6] Czarnecki уточнял, развивал эту теорию, интерпретируя с её помощью феноменологические свойства мощности, и разбирал ошибки других теорий [7]. К сожалению, CPC-теория рассматривает только трёхпроводные системы. В явном виде выражения для тока небаланса приведены в [6] только для трёхфазной трёхпроводной системы с нагрузкой типа треугольник. Подробный анализ и предложения по разработке компенсаторов для такой системы [3] сделаны для случая, когда напряжение источника является или прямой, или обратной последовательностью. В [8] теория CPC для синусоидальных трёхфазных трёхпроводных систем рассмотрена при несимметричном напряжении. Показано, что ток в такой системе может быть разложен на три составляющие: активный, реактивный и ток небаланса. Однако приведённое разложение ограничено опять же трёхпроводными системами и нагрузкой типа треугольник.
Целью данной работы является получение явной формулы для ортогонального разложения тока и его компонент при асимметричной нагрузке и несимметричном напряжении в синусоидальной ситуации для произвольной трёхфазной четырёхпроводной системы.
Скалярное и векторное произведения в
пространстве 3D-комплексов. В трёхфазной системе в трёхпроводном
сечении 
при синусоидальной
ситуации мгновенные значения напряжения и тока
, (1а)
(1б)
однозначно определены трёхмерными комплексными
векторами (3D-комплексами) – комплексными действующими величинами (ДВ) напряжения
и тока 
:
, 
, (
) (2)
где 
– знак транспонирования, 
– операция взятия реальной части комплексного числа. Так
выражения для тока (1б) в раскрытом виде запишутся как
.
Рассмотрим множество (пространство) различных
3D-комплексов. Для произвольного 3D-комплекса 
определим комплексно сопряжённый вектор и
его норму
, 
. (3)
Для пары 3D-комплексов 
и 
определим комплексное
скалярное и векторное произведения:
, (4а)
. (4б)
При 
и 
комплексное скалярное и векторное
произведения определяют комплексную мощность 
и 3D-комплекс мощности разбаланса 
соответственно как
(5)
. (6)
Здесь – операция взятия мнимой части комплексного числа.
Два 3D-комплекса 
и 
коллинеарны, если их координаты комплексно
пропорциональны, т. е. существует комплексное число β такое, что 
. 3D-комплексы коллинеарны
тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.
Можно проверить, что комплексное скалярное произведение и 3D-комплекс векторного произведения (4) связаны соотношением
, (7)
которое обобщает соответствующее
утверждение для обычных вещественных векторов [9]. При подстановке и в (7) получаем уравнение мощности в трёхпроводном сечении
, 
. (8)
Здесь 
– квадрат мощности разбаланса, 
– квадрат комплексной
мощности и 
–
полная (кажущаяся) мощность. Это уравнение справедливо при любом несимметричном
напряжении и инвариантно к выбору системы координат во множестве 3D-комплексов.
В частности, (8) справедливо для симметричных координат прямой, обратной и
нулевой последовательностей.
Ортогональное разложение в пространстве 3D-комплексов. Для двойного векторного произведения 3D-комплексов справедлива теорема
, (9)
которая обобщает соответствующее утверждение для обычных вещественных векторов [9].
Как и для (7), доказательство может быть проведено посредством прямых вычислений или выбором специальной декартовой системы координат в пространстве 3D-комплексов.
Подстановка в (9) , даёт следующее разложение 3D-комплекса
тока на 3D-комплексы токов баланса 
и небаланса 
:
, 
, 
, (10)
где обозначены
, 
. (11)
Компонента 
– это ортогональная
проекция комплекса 
на
комплекс 
, а компонента
– ортогональное
дополнение в смысле комплексного скалярного произведения (4). Поэтому
компоненты (11) декомпозиции (10) взаимно ортогональны, т. е. 
.
Сбалансированная составляющая
коллинеарна
комплексу напряжения .
Комплексный коэффициент пропорциональности 
характеризует фазовый сдвиг между вектором
напряжения и током баланса . Компонента ортогональна комплексу напряжения и равна нулю тогда и
только тогда, если 
.
Из ортогональности разложения (10) следует равенство для квадратов норм комплексов токов баланса и небаланса (теорема Пифагора для векторов тока):
. (12)
Умножая соотношение (12) на
, получаем
уравнение мощности
.
(13)
При 
и 
соотношение (7) даёт 
. Так как 
является смешанным произведением,
в которое вектор входит
дважды, то 
. Следовательно,
, и с учётом
(11) имеем
, 
.
Таким образом, уравнение
(13) совпадает с полученным ранее уравнением (8) и объясняет потери активной
мощности, вызванные током небаланса: если ток баланса характеризуется
комплексной мощностью , то ток небаланса – мощностью разбаланса 
.
Ортогональное
разложение мгновенного тока. Разложение для мгновенного тока 
следует из разложения 3D-комплекса тока (10):
, 
, 
. (14)
Векторы комплексных ДВ мгновенного
тока баланса 
и
небаланса 
вычисляют
согласно (10). Ток баланса полностью определён комплексной мощностью 
. Можно показать, что
ток баланса является минимальным током (в смысле среднеквадратичного значения),
который поставляет в нагрузку активную мощность 
полного тока и по отношению к напряжению имеет
фазовый сдвиг 
.
Компоненты разложения (14) взаимно ортогональны в смысле среднего значения
.
Полагая 
и 
, разложим мгновенный ток
баланса на мгновенный активный 
и реактивный 
токи:
, 
, 
. (15)
Токи (15) взаимно ортогональны в смысле среднего значения, т. е.
.
Проводимость
сбалансированной и разбалансированной компоненты тока. Для трёхпроводного сечения определим
эквивалентные проводимости фаз:
. (16)
Если в сечении 
подключена нагрузка
типа звезды с заземлённой нейтралью, то введённые проводимости (16) равны
проводимостям фаз нагрузки.
Представим 3D-комплекс напряжения через
его орт 
, (
, 
):
, 
. (17)
Для вектора тока и квадрата его нормы получим
, 
. (18)
Из (18) для мощностей (5) и (6) с учётом (17) имеем
,
. (19)
Введём вектор приведённой
проводимости 
,
проводимость тока баланса 
и вектор проводимости тока небаланса 
соответственно:
, 
, (20)
. (21)
Из (10) имеем
. (22)
Так как векторное
произведение можно представить с помощью кососимметричной матрицы [9], то получим
разложение тока в сечении в координатной форме:
. (23)
Коэффициенты 
кососимметричной матрицы
являются координатами вектора проводимости 
тока небаланса и однозначно определяют
ток, компенсирующий ток небаланса. С учётом (20) и (21) из (12) можно получить
уравнение для проводимостей [10], эквивалентное уравнению мощности (8).
Анализ полученных выражений при симметричном напряжении. Даже при симметричном напряжении анализ тока небаланса для четырёхпроводной системы в связи с наличием нулевой последовательности сложнее, чем для трёхпроводной системы. Рассмотрим систему с нагрузкой типа звезда с заземлённой нейтралью (рис. 1).
Пусть напряжение симметрично
и задано нормированным вектором прямой последовательности 
:
, (
, 
, 
, 
). (24)
Вектор приведённых комплексных проводимостей (20, а) и 3D-комплекс тока равны:
, 
; 
(25)
проводимость тока баланса (20, б)
и вектор проводимости тока небаланса 
(21):
, 
. (26)
Рис. 1. Трёхфазная система с несимметричной нагрузкой
Из (25) и (26) следует, что при симметричном напряжении введённые проводимости (20) и (21) зависят только от проводимостей фаз и не зависят от напряжения, а 3D-комплексы токов баланса и небаланса выражаются через проводимости фаз как
, 
. (27)
Можно показать, что ток небаланса (27) содержит нулевую и обратную последовательности, поэтому его нельзя выразить с помощью единственной проводимости (как в [6]), а для своего описания он требует двух проводимостей (обратной и нулевой последовательности).
Рис. 2. Примеры асимметричной нагрузки
Примеры асимметричной нагрузки. Для всех рассмотренных ниже примеров реактивный ток и реактивная мощность равны нулю.
Пример 1. Реактивно-асимметричная и
активно-асимметричная нагрузка (рис. 2, а). Нагрузка задана проводимостями
, 
,
.
, 
( 
).
Проводимости симметричной и асимметричной компонент тока (27)
, 
, 
.
Трёхмерные комплексы токов (25) и (27) соответственно равны:
, 
, 
.
Пример 2. Активная
асимметричная нагрузка (рис. 2, б). Проводимости фаз 
, 
,
. Проводимости токов баланса и небаланса (27)
, 
, 
, 
.
Трёхмерные комплексы (25) и (27) токов соответственно равны
, 
, 
, 
.
Пример 3. Чисто реактивная асимметричная
нагрузка (рис. 2, в). Для этого случая 
, 
.
Проводимость тока баланса и вектор проводимости тока небаланса (26) равны:
, 
.
Для комплекса тока (25) и его компонент (27)
, 
, 
.
Ток полностью совпадает с
разбалансированной компонентой 
, а полная мощность равна мощности разбаланса
.
Выводы
1. Полученное разложение (10) справедливо при любом несимметричном напряжении в трёхфазном сечении четырёхпроводной системы. Компоненты разложения – ток баланса и ток небаланса (11) непосредственно выражаются через трёхмерные комплексы напряжения и тока. Разложение (10) получено в векторной форме, что делает его инвариантным к выбору декартовой системы координат во множестве 3D-комплексов. В частности, форма (10) справедлива для симметричных координат прямой, обратной и нулевой последовательностей, дополняет и расширяет разложение для трёхпроводной системы [9], в которой отсутствует нулевая последовательность. Кроме того, форма разложения (10) инвариантна к выбору точки отсчёта напряжения.
2. Для трёхпроводной системы измерение напряжений выполняется относительно "фиктивной" точки (artificial ground), и это равносильно тому, что из напряжений фаз вычитается их нулевая последовательность, все процессы становятся двумерными (нулевая последовательность токов равна нулю в силу первого закона Кирхгофа). В трёхпроводной системе при симметричном напряжении прямой последовательности ток баланса равен току прямой последовательности, а ток небаланса – току обратной последовательности. Поэтому для описания тока небаланса достаточно одной (единственной) проводимости [8].
3. В четырёхпроводной системе все процессы в трёхфазном сечении трёхмерны, и задача компенсации существенно сложнее. Даже при симметричном напряжении ток небаланса двумерный – содержит нулевую и обратную последовательность, и его нельзя выразить с помощью единственной проводимости. Нами получены выражения для проводимости тока баланса и тока небаланса при несимметричном напряжении. Эти проводимости вычисляются по измерениям комплексов напряжения и тока в трёхфазном сечении и могут быть использованы для оценки проводимостей ветвей адаптивных пассивных компенсаторов реактивного тока и тока небаланса.
4. Техника комплексных рядов Fourier позволяет обобщить полученные результаты на несинусоидальный случай. Однако такое обобщение требует введения аналога понятия векторного произведения в многомерном пространстве последовательностей комплексных 3D-гармоник.
Список литературы
1. Czarnecki L. S. Orthogonal decomposition of the current in three-phase nonlinear asymmetrical circuit with non–sinusoidal supply voltage // IEEE Trans. on Instrument. Measurement. 1988. Vol. IM-37, No 1, March. P. 30–34.
2. Fryze S. Active, reactive and apparent power in circuits with nonsinusoidal voltage and current // Przegląd Elektrotechniczny. 1931, no. 7–8.
3. Czarnecki L. S. Reactive and unbalanced currents compensation in three-phase asymmetrical circuits under nonsinusoidal conditions // IEEE Trans. On Instrument. Measurement. 1989. Vol. IM-38, No 3, June. P. 754–759.
4. Czarnecki L. S. Physical reasons on current rms value increase in power systems with nonsinusoidal voltages // IEEE Trans. on Power Delivery. 1993. Vol. 8, No 1, June. P. 437–447.
5. Czarnecki L. S. Power related phenomena in three-phase unbalanced systems // IEEE Transactions on Power Delivery. 1995. Vol. 10, No 3, July. P. 1168–1173.
6. Czarnecki L. S. Currents’ Physical Components (CPC) in circuits with nonsinusoidal voltages and currents. Part 2: Three-phase linear circuits // Electrical Power Quality and Utilization Journal. 2006, Vol. XII, No. 2. P. 3–13. http://www.lsczar.info/papers.htm
7. Czarnecki L. S. On some misinterpretations of the instantaneous reactive power p-q theory // IEEE Trans. on Power Electronic. 2004. Vol. 19, issue 4, May, P. 310–324. http://www.lsczar.info/papers.htm
8. Czarnecki L. S. Powers of asymmetrically supplied loads in terms of the CPC power theory // Electrical Power Quality and Utilization Journal, 2007. Vol. XIII, No. 1. P. 97–103. http://www.lsczar.info/papers.htm
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1973. 832 с.
10. Сиротин Ю. А. Уравнение мощности и штрафные санкции за асимметричную нагрузку // Эффективность и качество электроснабжения промышленных предприятий. VI МНТК. EPQ–2008: Cб. трудов. Мариуполь: Изд. ПГТУ, 2008. С. 211–214.