А

Схема симметризации Штейнметца

как частный случай оптимального компенсатора Фризе.

Ю. А. Сиротин, канд. техн. наук, доцент, msua@ukrpost.ua, yuri_sirotin@ukr.net

Национальный технический университет "Харьковский политехнический институт"

Подключение несимметричных нагрузок (НН) без компенсирующих устройств (КУ) приводит к появлению токов обратной последовательности, дополнительным потерям, пульсации мгновенной мощности и несимметрии напряжения – ухудшению качества энергии [1, 2]. В синусоидальном режиме (при симметричном напряжении) одной из первых схем компенсации (симметризации) для трёхпроводной системы была схема Steinmetz [3].

Изящество схемы симметризации Штейнметца (ССШ) одноплечевой нагрузки , когда она дополняется до полной Δ-нагрузки реактивными элементами , , на протяжении более века вызывает неослабевающий интерес [4–6]. Нагрузка ССШ со стороны источника "видна" как чисто активная сбалансированная нагрузка. ССШ полностью устраняет дополнительные потери от реактивного и несбалансированного тока, полностью убирает пульсации мгновенной мощности (ММ) и обеспечивает единичный коэффициент мощности (КМ) – изменённая полная мощность равна активной мощности.

Доказательство этих свойств ССШ и определение параметров компенсирующих элементов делается с помощью векторных диаграмм [1]. Попытка применения метода векторных диаграмм при произвольной НН наталкивается на определённые трудности, поскольку компьютерная реализация этого визуального метода затруднительна. Для инженерных расчётов КУ при произвольной НН нужны простые и понятные формулы.

Известно, что метод Fryze [7] компенсации неактивного тока позволяет обеспечить единичный КМ при любой нагрузке и любом напряжении. Проблема заключается в его реализации с помощью реактивных элементов [8]. В [9] показано, как метод Fryze применить при любом несимметричном напряжении, что позволяет реализовать КУ как следящую систему, оптимально компенсирующую неактивный ток при изменении несимметрии напряжения.

Покажем, как в рамках метода Fryze получить простые формулы для расчёта реактивных элементов компенсатора (симметризатора) при симметричном напряжении.

Разложение Fryze при несимметричном синусоидальном напряжении. В синусоидальном режиме трёхфазные токи и напряжения в трёхпроводном сеченииполностью определены трёхмерными векторами – комплексными действующими величинами (3D-комплексами) напряжения и тока

, . (1)

Для вектора полного тока справедливо ортогональное разложение Fryze

, , (2)

где 3D-комплексы активного и неактивного токов Fryze [10]

, (3)

определены через 3D-комплексы токов и напряжений (1). Здесь и – активная и реактивная мощности (реальная и мнимая части комплексной мощности)

, ; (4)

– векторное произведение 3D-комплексов напряжения и токов (вектор мощности небаланса нагрузки); и – комплексно сопряжённый (КС) вектор тока и напряжения, - знак операции транспонирования.

Действующие величины (д.в.) трёхфазного тока и напряжения равны нормам 3D-комплексов:

, (5, а)

. (5, б)

При этом активный ток Fryze поставляет ту же активную мощность, что и полный ток

В силу ортогональности разложения (2) для д.в. справедливы равенства:

, . (6)

Тем самым устранение неактивного тока Fryze из цепей источника равносильно компенсации реактивной и несбалансированной мощности. Из (6) следует уравнение мощности [11]

, (7)

где – кажущая мощность, – мощность небаланса (норма вектора мощности).

Коэффициент мощности

(8)

равен единице, только если активный ток равен полному току нагрузки.

Энергетические процессы в трёхфазной трёхпроводной системе. Рассмотрим нагрузку типа треугольник (-нагрузку). 3D-комплексы линейных токов и фазных (узловых) напряжений (1) связаны векторно-матричным равенством

, (9)

с матрицей узловых проводимостей нагрузки:

. (10)

Энергетические процессы в трёхпроводном сечении не содержат нулевой симметричной последовательности, поэтому соответствующий 3D-комплекс ортогонален орту нулевой последовательности

. (11)

Для вектора линейных токов это условие обеспечивается первым законом Кирхгофа. Для 3D-комплекса узловых напряжений условие (11) обеспечивается измерением напряжения относительно искусственной точки заземления (artificial point [9]).

Любой 3D-комплекс, удовлетворяющий условию (11), однозначно раскладывается по взаимно ортогональным ортам [12]:

, (12)

прямой и обратной последовательностей ().

Таким образом,

. (13)

Так как орты (12) взаимно ортогональны

то коэффициенты разложения (13) вычисляют как

. (14)

Для вектора тока (9), согласно (13), имеем

. (15)

Согласно (14), фазоры прямой и обратной последовательности тока равны проекции вектора тока на соответствующие орты:

, . (16)

Симметризация тока и компенсация Fryze. Если напряжение симметрично прямой последовательности

, (17)

то из (15) и (16) следует:

, . (18)

Прямыми вычислениями проверяется, что проводимости прямой и обратной последовательности равны

, (19, а)

. (19, б)

Представим проводимости (19) как

, , (20)

где величины

, (21, а)

, (21, б)

обусловлены активными элементами нагрузки. Величины

, (22, а)

, (22, б)

обусловлены реактивными элементами нагрузки (13).

Если -нагрузка чисто реактивная, то и

, . (23)

Формулы (23) позволяют реализовать КУ только на LC-элементах.

В симметричных координатах разложение Fryze (2) имеет вид

, (24)

гдe , – комплексные величины (фазоры) активного и реактивного тока. Активный ток Fryze равен

. (25)

Неактивный ток Fryze

, (26)

должен быть полностью скомпенсирован током компенсатора

. (27)

Так как такой компенсатор должен быть реализован только на реактивных элементах, то из (23) следует:

, . (28)

Для полной компенсации неактивного тока необходимо, чтобы сумма тока компенсатора и неактивного тока Fryze была равна нулю (). Тогда в цепях источника остаётся только активный ток (рис. 1).

Условие приводит к системе уравнений

(29)

для определения симметричных координат реактивных проводимостей компенсатора по симметричным координатам проводимостей нагрузки.

Рис. 1. Параллельное присоединение КУ к несимметричной нагрузке.

Реактивные проводимости компенсатора. Чтобы найти межфазные реактивные проводимости КУ, введём вектор межфазных проводимостей нагрузки и компенсатора:

, . (30)

Тогда из (20)–(22) для симметричных проводимостей нагрузки и компенсатора имеем:

, ; (31.а)

, ; (31.б)

, ; (31.в)

Подстановка соотношений (31) в систему (29) даёт систему уравнений для векторов (30) межфазных проводимостей

. (32)

Чтобы однозначно определить вектор межфазных проводимостей компенсатора, необходимо ещё одно уравнение для симметричной составляющей. Так как , то, применяя операцию комплексного сопряжения ко второму уравнению (32), получим

(33)

Таким образом, имеем систему уравнений для нахождения вектора межфазных проводимостей ∆ - компенсатора

, (34)

которую можно записать в матричном виде как

. (35)

Здесь – матрица компенсации несимметрии активных элементов нагрузки

– модифицированная матрица Fortescue [10], которая задаёт переход от фазовых координат к симметричным

(36)

Такая матрица унитарна (множитель существен). Так как она симметрична, то обратная матрица равна сопряжённой матрице

. (37)

Матрица определяет обратный переход от симметричных к фазовым координатам. Полученное уравнение (35) слева умножим на обратную матрицу , тогда

, (38)

где

. (39)

В явном виде для реактивных проводимостей КУ имеем простые формулы, пригодные для инженерных расчётов

(40)

Из (40) следует, что реактивные элементы нагрузки компенсируются шунтирующими межфазными реактивными элементами противоположного знака. Однако даже если нагрузка имеет индуктивный характер, для компенсации несимметрии активных элементов потребуются реакторы. В частности для схемы Штейнметца получим (рис. 2)

Формулу (40) можно представить компактно:

, (41)

где – векторное произведение векторов и . Полученные формулы (40) и (41) позволяют рассчитывать реактивные элементы КУ, обеспечивающих единичный КМ при присоединении к сети с симметричным напряжением произвольной несимметричной –нагрузки.

Числовое моделирование. В рассматриваемых ниже примерах все величины приведены в относительных единицах . Моделирование проводились в среде MatCad. Напряжение в сечении симметрично, нагрузка задана межфазными проводимостями, (табл. 1).

1. Параметры ∆ - нагрузки


а	1	0	0
б		0	0
в

Во всех трёх примерах нагрузка выбрана так, что обеспечивается передача энергии с одинаковой активной мощностью о.е. Межфазные реактивные проводимости ∆ - компенсатора, рассчитанные согласно (40), приведены в табл. 2.

2. Параметры ∆ - компенсатора


а
б
в

Параметры режимов сведены в табл. 3. Здесь и – комплексная амплитуда мощности пульсаций (переменной составляющей двойной частоты мгновенной мощности) полного тока до и после компенсации (когда полный ток равен активному току) [2].

Рис. 2. ССШ как частный случай оптимального компенсатора Фризе.

3. Параметры режимов

До компенсации

После компенсации

№

0,731

0,177

0,741

1,821

4,123

0,678

На рис. 3 приведены результаты моделирования. Здесь:

а) этот пример соответствует ССШ. Одноплечевая активная нагрузка до симметризации имеет КМ (число взято из табл. 3). Тем самым после компенсации полные потери уменьшены в два раза;

б) одноплечевая нагрузка (индуктор), включена между фазами А и В. КМ индуктора, вычисленный по формуле , равен 0,243; КМ подключаемого индуктора как трёхфазной нагрузки, вычисленный согласно (8), равен . После компенсации полные потери уменьшены в 34 раза;

в) три однофазные активно-индуктивные нагрузки (, , ) включены в три плеча и образуют неуравновешенную трёхфазную нагрузку. КМ . После компенсации полные потери уменьшены в 1,821 раза.

Заключение. Предлагаемый компенсатор позволяет: 1) полностью устранить пульсации ММ и убрать дополнительные потери от неактивного тока; 2) сделать КМ равным единице ; 3) полные потери на 1 Ом уменьшить в раз. Установка таких КУ позволит потребителю не платить за неактивную (реактивную + небаланса) мощность и избежать дополнительных потерь в сети поставщика. Улучшив качество своего потребления, потребитель вполне обосновано может выдвигать требования к улучшению качества поставки [12].

Список литературы

1. Шидловский А. К., Кузнецов В. Г. Повышение качества энергии в электрических сетях. Киев: Наукова думка, 1985.

2. Сиротин Ю. А Качество энергоснабжения и энергопотребления в разбалансированной трёхфазной системе // Электрика. 2009. № 6. С. 22–27; №7. 15–21. http://www.nait.ru/journals.

3. Steinmetz C. P. Lectures on Electrical Engineering. N-Y.: Dover, 1897.

4. Милях А. Н., Шидловский А. К., Кузнецов А. Г. Схемы симметрирования однофазных нагрузок в трёхфазных цепях. Киев: Наукова думка, 1973.

5. Hanzelka Z. Mitigation of voltage unbalance. http://www.leonardo-energy.org/chapter-5-mitigation-voltage-unbalance.

6. Todeschini G., Emanuel A. E., Ferrero A., Morando A. P. A Poynting Vector Approach to the Study of the Steinmetz Compensator // IEEE Trans. Pow. Deliv, Vol. 22, No. 3, 2007, pp. 1830–1830.

7. Fryze S. Active, reactive and apparent power in circuits with nonsinusoidal voltage and current // Przegląd Elektrotechniczny. 1931. No. 7–8.

8. Czamecki L. S. Reactive and unbalanced currents compensation in three-phase asymmetrical circuits under nonsinusoidal conditions // IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 38, No. 3, pp. 754–759, June, 1989.

9. Sirotin Iu. A. LC-Fryze’s compensator under asymmetrical voltage / Proceed. of the 10-th Conference-Seminar, ISNCC–2010, Lagow, Poland, 160–165, www.isncc2010.iee.uz.zgora.pl/html/program.html.

10. Сиротин Ю. А. Сбалансированная и разбалансированная. составляющие тока в трёхфазной несимметричной системе // Вісник ПДТУ. 2008 р., Вип. № 18. 81–87, www.nbuv.gov.ua/portal/Natural/VPDTU/2008_18_2/C2/18.pdf

11. Сиротин Ю. А. Уравнение мощности и штрафные санкции за асимметричную нагрузку // Эффективность и качество электроснабжения промышленных предприятий. VI МНТК. EPQ–2008: Cб. трудов. Мариуполь: Изд. ПГТУ, 2008.

12. Сиротин Ю. А Энергетические компоненты трёхфазного тока, их оплата и компенсация // Электрика. 2010. № 4. С. 18–23.