ОТКРЫТИЕ НОВОЙ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ МЕНЯЕТ КАРТИНУ МИРА
Б. А. Трубников, О. Б. Трубникова
Показано, что помимо двух хорошо известных квантовых
статистик для фермионов и бозонов в природе реализуется новый – третий тип
статистики, который авторы назвали "мультикластерным Бозе-распределением"
(теория МКБР). Оно описывает множество таких объектов, которые находятся в
своеобразной "ситуации конкуренции", стремясь повысить свой статистический
вес 
, который
обязан быть целым числом, логарифм которого принято называть энтропией.
Применительно к различным макроскопическим объектам требование максимума
энтропии приводит к обоснованию ранее известных многих эмпирических законов
типа Парето–Ципфа–Лотки–Кудрина и др. А применительно к элементарным
взаимодействиям теория МКБР приводит к обоснованию существования в природе
тёмной энергии и тёмной материи, реализующихся в виде колебаний "ононов
на гравитоне", энергия которых приводит к их наблюдаемому гравитационному
самостягиванию. При этом сами "частицы тёмной материи" остаются
ненаблюдаемыми подобно фононам в кристаллическом твёрдом теле, которые нельзя
наблюдать вне твёрдого тела.
1. Введение. О трёх квантовых статистиках. Статистикой называют науку о закономерностях
распределения большого числа каких-либо объектов по каким-либо отличительным
признакам. И ранее считалось, что в природе существуют элементарные частицы
лишь двух сортов – фермионы и бозоны. Авторы данной работы открыли, что в
природе имеются объекты нового – третьего типа, которые нами условно были
названы квинтами (или "конкурентами"). При этом фермионы
характеризуются статистикой Ферми–Дирака, имеющей статистический вес,
описываемый биномиальным коэффициентом 
. Бозоны же описываются статистикой Бозе–Эйнштейна
и имеют статистический вес 
где N – число
частиц, K – число возможных состояний частиц, а Г(m)=(m-1)!
– Гамма-функции целочисленных аргументов. Важно отметить, что статистический
вес является
чисто квантовой характеристикой множества частиц. Он указывает число всех
возможных состояний множества и обязан быть целым числом. В
классической (не квантовой) статистике такое понятие вообще отсутствует и
заменяется понятием относительной вероятности, которая не обязана быть
целым числом. По этой причине принцип соответствия квантовых и
классических формул можно рассматривать лишь в одном – прямом направлении,
тогда как обратный переход от классических формул к квантовым требует фантазии
или угадывания, как это показано ниже на ряде примеров.
Здесь возникает вопрос – почему статистический вес обязан быть целым числом? Дело в том, что во многих "конкурентных ситуациях" природа действует методом проб и ошибок, как это имело место при самóм зарождении жизни на Земле. В подобных ситуациях всегда возникает проблема выбора очередного следующего шага. Ясно, что такой выбор возможен только тогда, когда число потенциальных возможностей ограничено, иными словами оно обязательно должно быть целым счётным числом (не дробным и не трансцендентным). По существу, именно так "работает вся природа" – выбирая целое число из разных возможностей путей развития.
Руководствуясь этой "философской мыслью" (о
необходимости целочисленности статистического веса) и пытаясь построить новый
тип квантовой статистики, рассмотрим случай, когда множество N
частиц разбивается на 
кластеров k-типа, и
при этом тип кластера определяется именно числом k попавших в
него частиц. Так что считаются заданными две суммы:
N
. (1.1)
Кроме того, считается заданным некий суммарный ресурс
, (1.2)
где
– доля
ресурса, приходящаяся на один кластер k-типа.
Общий статистический вес всего множества объектов, по определению, считается
равным
(1.3)
где
B=
и 
. Энтропия определяется как
логарифм стат-веса 
,
и её максимум находится (методом проб) на дискретном множестве целочисленных
значений чисел k и 
.
2. Квазиклассическое приближение (квази-Паретовский закон). В классическом пределе все факториалы можно заменять формулами Стирлинга. Тогда статистический вес оказывается мультипликативным и равным
, (2.1)
где
.
Тогда он уже не обязан быть целым числом, а требование максимума энтропии при трёх дополнительных условиях (1.1–1.2) приводит к дифференциальному спектру кластеров
, (2.2)
где
α, β, γ – три параметра Лагранжа, и А – множитель общей
нормировки множества "конкурентов". При бóльших значениях
аргумента 
это
даёт "закон Парето" 
, а при малых k нужно
учитывать влияние обрезающей экспоненты на левом крае спектра.
Для макроскопических объектов параметр k
означает не число частиц, а просто условную единицу измерения множества.
Например, для галактик можно измерять их массы, приняв за единицу массу Солнца
и делая замену k
. Тогда, полагая 
, получим
формулу Зельдовича–Новикова для распределения числа галактик по массам 
. Ниже приведены
примеры хорошей применимости формулы (2.2), которую с учётом "левой"
обрезающей экспоненты условимся называть "квази-Паретовским законом".
|
|
|
Рис. 1. Распределение относительного числа граждан Англии и США по доходам за неделю [1] |
|
(а) |
(б) |
|
(в) |
(г) |
|
Рис. 2. Интегральные спектры для различных распределений: а – городов США по числу жителей [2]; б – слов текста по частоте встречаемости (закон Ципфа)[3]; в – малых космических тел по массам [4]; г – организмов океана по массам [5] |
|
|
а |
б |
|
Рис. 3. Дифференциальный (а) и интегральный (б) спектры распределения по массам ооцитов лягушки (по данным О. Б. Трубниковой) |
|
Все эти графики хорошо аппроксимируются формулами квази-Паретовского закона и не имеют никакого отношения к понятию температуры. Тем не менее, при нашей попытке опубликовать эти данные в общефизическом журнале "Письма в ЖЭТФ" мы получили отрицательную рецензию с отказом в публикации, поскольку рецензент оказался сторонником иного, так называемого "термодинамического подхода" к проблеме экономического равновесия. Этот ошибочный подход настолько уникален, что, пользуясь случаем, мы хотели бы здесь ниже ознакомить с ним наших читателей.
4. Ответ "Писем в ЖЭТФ" на нашу статью о теории конкуренции[1]:
О работе Б. А. Трубникова и О. Б. Трубниковой "Распределения …."
Манускрипт содержит вывод, как считают авторы, нового распределения и утверждения о его широкой применимости к проблемам физики, экономики и социологии. Сколь нибудь реальное сравнение с наблюдениями проведено только для некоторой биологической задачи, да и то далеко не в полной мере.
Как представляется, по жанру эта работа совершенно не соответствует "Письмам", а скорее подходит для чего-то вроде "Природы". По поводу содержащейся в ней конкретики должен заметить следующее.
1. Вывод закона распределения некорректен. Авторы хотят исключить из общего числа перестановок обмены внутри одинаковых каст и внутри одинаковых кучек. Однако все последние на самом деле есть частные случаи первых, и зачем-то учтены два раза.
2. Авторы совершенно напрасно претендуют на уникальность своего случая (стр. 4 вверху). Давно и хорошо известно, что для любой наперед заданной функции распределения всегда можно подобрать функционал ("энтропию"), экстремум которого достигается на этой функции. Можно также подбирать и законы сохранения, учитываемые в методе неопределённых множителей Лагранжа. Этим вопросам, например, посвящен целый параграф в обзоре Montroll & Shlesinger in V.XI Studies in Statistical Mechanics, ed. W. Montroll, L. Lebowitz, Noth-Holland, Phisics Publishing, 1984. Там он используется и для упоминаемого в данной работе хвоста Парето, так что на самом деле его "таинственность" заключается в многочисленности возможных "объяснений".
3.
Нет ничего замечательного и
в подчеркнутой "безтемпературности" функции (14). Физика здесь все
равно не обсуждается, а чисто формально температура в декларируемой "игре"
однозначно связана с лагранжевым множителем при энергии 
, который в случае 
отнюдь не обязан
появляться лишь в А и вполне заметен в формулах из статьи. Кажется, авторы
считают новым сам вид получаемой функции распределения, сильно отличающийся от
распределений Гаусса, Ферми–Дирака,
Бозе–Эйнштейна и т. д. На самом
деле к нему, например, очень близок закон, описывающий распределение по времени
возвращения в начало частиц, диффузионно блуждающих по прямой:
встречающейся также и во многих других статистических задачах, поскольку относится к классу устойчивых.
Сожалею, но никак не могу рекомендовать статью к публикации.
Без подписи
Странно, что редакция "Писем" обратилась к
рецензенту, который даже не понимает смысла формул теории вероятностей. Ведь
наш стат-вес имеет вид 
(1.3), и здесь числитель 
учитывает все
перестановки частиц, а знаменатель 
предназначен не для учёта, а как
раз наоборот – для устранения из учёта лишних перестановок, введённых числителем. Так что
рецензент не понимает смысла различия числителя и знаменателя – их функции
противоположны!
Как могут видеть читатели, в ответе нет ни одной правильной строки, относящейся к проблеме обоснования закона Парето, который не имеет никакого отношения к термодинамике и, к тому же, является квантовым объектом с целочисленным статистическим весом. Такой целочисленный вес нельзя найти по рекомендуемому рецензентом обзору Montroll & Shlesinger, поскольку при интегрировании уравнений для множителей Лагранжа нельзя определить постоянную интегрирования, которая в нашем случае должна равняться натуральному логарифму целого числа! (Ведь в классике нет теоремы Нернста!).
Наконец, рассмотрим возможность совершенно необычного применения формул открытой нами новой квантовой статистики.
5.
Гипотеза о новых элементарных
частицах – "квинтах". В
квантовой физике принято различать уравнения для частиц и уравнения для сил
взаимодействия между частицами. Элементарные (не составные) частицы имеют
полуцелый спин s=
(электроны, нейтрино, кварки). Тогда как
поля – переносчики взаимодействий – имеют целый спин S=1, 2, 3,
…(фотоны, гравитоны и пр. …..?). При этом необходимость квантования спина
полей-переносчиков взаимодействий приводит к кардинальным последствиям для
свойств этих полей и взаимодействующих с ними частиц. Оказалось, что поля с нечётным
спином (магнитное, электрическое и глюонное поля) приводят к тому, что
одноименные заряды расталкиваются, а разноименные притягиваются друг к другу. А
в полях с чётным спином (гравитационное поле) одноименные "заряды"
притягиваются, а разноименные расталкиваются [6]. Это можно назвать "золотым
правилом Ньютона–Кулона–Фейнмана", и, по-видимому, оно впервые было
установлено в 1927 г. Е. Вигнером, исследовавшим квантовую природу спина частиц
и полей взаимодействий.
Как известно, в 1998–99 гг. было экспериментально обнаружено, что наша Вселенная расширяется с ускорением под действием ранее неизвестной силы, которую принято называть темной энергией [7–8]. Она равномерно заполняет всё пространство, но её природа остаётся неясной. Кванты этой силы мы условимся называть "квинтами" и попытаемся приписать им некоторые ранее неизвестные свойства. В частности, ранее в квантовой науке не были введены силовые поля со спином s=3. Подчеркнём, что здесь следует строго различать частицы и поля. И те, и другие являются квантовыми объектами, и необходимость квантования спина полей приводит к кардинальному изменению их свойств. Оказалось, что спины полей могут принимать только целые значения – либо чётные, либо нечётные. Спин s=1 приписан полю фотонов, и в этом поле одноименные электрические заряды расталкиваются, а разноименные притягиваются по закону Кулона. Спин s=2 приписан гравитационному полю, и в этом поле одноименные гравитационные "заряды" притягиваются по закону Ньютона. Отметим, что в природе не наблюдаются объекты, которым можно было бы приписать понятие "антимассы", подобно тому, что не наблюдаются и объекты типа магнитных монополей. Попытаемся теперь приписать спин s=3 полю силы, которая приводит к ускоренному расширению нашей Вселенной. Условно назовём эту силу квинтовым полем (похожим на электромагнитное поле фотонов, имеющих спин s=1). По предположению, эта сила действует на частицы-квинты, которые являются носителями "квинтовых зарядов" eq. Эти заряды могут быть как положительными, так и отрицательными, и квинтовое поле должно приводить к расталкиванию одноименных зарядов и притяжению разноимённых квинтовых зарядов (по правилу Фейнмана) [6]. Подчеркнём, что частица "+ квинт" не является античастицей по отношению к частице "–квинт", и их взаимное притяжение приводит к образованию связанной пары – квинтовому диполю, который не может аннигилировать, превращаясь далее во что-то, ввиду отсутствия дальнейшего канала реакции аннигиляции. Именно такая модель, по нашему мнению, позволяет объяснить новые, обнаруженные в 1998–1999 гг. свойства Вселенной.
6. Мультикластерные Бозе-распределения (МКБР-теория). В этой теории считается, что вся совокупность N частиц разбивается на кластеры k-типа, и при этом тип кластера определяется именно числом попавших в него частиц. Поэтому считаются заданными две суммы:
и 
, (6.1)
и статистический вес рассматриваемого множества частиц определяется формулой
. (6.2)
В простейшем случае можно ограничиться учётом кластеров лишь двух типов: одиночек с k=1 и двоек с k=2. Тогда формула (6.2) принимает вид:
, (6.3)
где
Г(m)=(m-1)! – гамма-функции целочисленных аргументов. Требование
целочисленности статистического веса ограничивает возможности выбора целых
чисел 
и 
. Но вблизи максимума
энтропии 
эти
числа нетрудно найти путём "ручного"подбора (методом проб). В
частности, для N=100 нами были найдены значения 
. Максимум энтропии достигается примерно
при N1=n1=76 и N2=24, при n2=12. Тогда имеем отношение
N1/N
=76/24=3,166, и эта цифра весьма близка к отношению космической "тёмной
энергии" к "тёмной материи" (75 %/25 % 
). Эту близость мы рассматриваем
как косвенное, но убедительное свидетельство в пользу нашей гипотезы.
7. Тёмная
энергия и тёмная материя Вселенной как поля частиц со спином 3. В частности, это позволяет предполагать, что
обнаруженное в 1998–1999 гг.
расширение нашей Вселенной с ускорением [7–8] обусловлено ранее неизвестными частицами со спином
3 [9], ведущим к расталкивающей силе взаимодействия этих частиц (условно называем
их квинтами). В то же время разумно предполагать, что существуют и их
анти-частицы – антиквинты с противоположным знаком "квинтового заряда".
И в процессе ускоренного расширения Вселенной некоторая часть квинтов успела
объединиться с антиквинтами, образовав связанные пары "квинт +антиквинт",
которые не аннигилируют, поскольку им просто не во что превращаться далее из-за
отсутствия канала реакции аннигиляции. Но, обладая энергией, эти пары имеют
суммарный чётный спин и участвуют в гравитационных взаимодействиях, образуя так
называемую "тёмную материю", которая примерно в 10 раз увеличивает
наблюдаемые массы галактик, иногда создавая так называемые гравитационные
линзы. Отношение наблюдаемых долей тёмной энергии и тёмной материи примерно
равно 
, и
эта цифра находит разумное объяснение в рамках разработанной нами теории "мультикластерных
Бозе-распределений" (МКБР-теория).
8. Фононы на гравитоне в роли частиц
темной материи. Поясним, как гравитон
включается в теорию бозонных струн. Для этого выберем параметризацию, где длина
струны равна 
,
так что 
, и
скорость точек струны можно разложить в ряд по "нормальным модам открытой
струны" в виде
. (8.1)
Это разложение содержит только синусы, поскольку на
концах открытой струны (при 
и 
) должно выполняться граничное условие V=0.
Однако, если струна свернута в кольцо, то это граничное условие отпадает, и в
разложении по гармоническим осцилляторам могут присутствовать и синусы, и
косинусы. При вторичном квантовании следует ввести операторы рождения 
и уничтожения 
квантов. При ударе по
натянутой струне (или любом внешнем воздействии) должны возникнуть сразу две
волны – бегущая налево и бегущая направо. Так что будем иметь сумму двух волн:
. (8.2)
После обхода петли они вновь встретятся, накладываясь друг на друга, а затем разойдутся, и этот процесс должен повторяться с определённой периодичностью. Это и будет описанный в тексте "странный" переменный объект с волнами, бегущими со скоростью поперечного "квинтового" звука, обусловленного изгибными колебаниями замкнутой струны, имеющей вид натянутой "велосипедной цепи". Скорость такого звука должна быть много меньше скорости света.
9. Поиски частиц тёмной материи. Итак, по нашей гипотезе [9], присутствие в Галактике
частиц тёмной энергии – квинтов проявляется лишь в свойстве их взаимного
расталкивания (по Фейнману) [6], ведущему к ускорению наблюдаемого разлёта
Вселенной. Но поскольку они не участвуют ни в каких других взаимодействиях, то
прямые наблюдения одиночных квинтов невозможны. В противоположность этому, пары
квинт-антиквинт образуют тёмную материю, участвующую в гравитационных
взаимодействиях, и их можно пытаться обнаружить в каких-либо опытах. К
настоящему времени опубликовано множество работ, содержащих обширные списки
различных гипотетических частиц – кандидатов в тёмную материю [10], которые
можно пытаться обнаружить на опытах. Странно, что в этих статьях совсем не
говорится о возможной связи между тёмной материей и тёмной энергией. Однако указано,
что поиски проводятся уже примерно 10 лет на самых разнообразных установках, но
пока не дали определённых результатов, превышающих фоновые события. Между тем,
по нашей гипотезе, эти явления имеют общую природу, поскольку тёмная энергия
состоит из одиночных квинтов, а тёмная материя – из связанных пар квинт+антиквинт. И если наша гипотеза
правильна, то отрицательный результат всех предпринятых поисков закономерен, и
его можно рассматривать как дополнительное подтверждение нашей гипотезы о том,
что и тёмная энергия, и тёмная материя состоят из частиц-переносчиков, имеющих
спин 3. Проследим, однако, как гравитон включается в теорию бозонных струн. По
современным представлениям, он обязан выглядеть как струна, свёрнутая в
замкнутое кольцо и не имеющая концов (см., например [12]). Наши пары
квинт-антиквинт замечательным образом пригодны для образования из них
замкнутой цепочки подобных звеньев. При этом сама цепочка должна
соответствовать гравитону с планковской массой 
. Но на ней могут возбуждаться бегущие
волны смещений звеньев относительно их равновесного положения. Такие смещения
подобны фононам в твёрдом теле, и их квантованные энергии могут быть
существенно меньше планковской массы. Мы будем предполагать, что такие "фононы
на гравитоне" и образуют тёмную материю Вселенной.
10. Волны фононов на гравитонах. Обыкновенные фононы нельзя наблюдать вне твёрдого тела. И подобно этому волны фононов на гравитоне нельзя наблюдать вне гравитонов. Спрашивается – как же проверить нашу гипотезу? Разумно предполагать, что гравитон, составленный в виде замкнутой петли из многих звеньев квинт-антиквинтовых пар, похож на цепь велосипеда, и распределение звеньев вдоль неё является неравномерным. Указанная неравномерность и должна проявляться при окружном движении гравитонов вдоль края галактик, приводя к появлению облаков отдельных сгущений периферийных звезд. Эти периферийные облака являются своеобразной "пеной" на грави-фононных волнах. Их "слишком быстрое" орбитальное движение и свидетельствует о присутствии в галактиках тёмной материи. На этом этапе и должно возникать существенное отличие гравитационной массы от инерционной массы. Как известно, эквивалентность этих двух масс лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна. Но в нарисованной нами картине грави-фононов энергия возбуждения их относительных колебаний должна определяться не гравитационной постоянной Ньютона, а энергией взаимодействия квинт-антиквинтовых пар, т. е. скоростью "звука грави-фононов" вдоль "велосипедной цепи" гравитона. И недавно в Интернете были опубликованы материалы наблюдений, которые, по-видимому, имеют отношение к рассматриваемым здесь проблемам грави-фононных волн. Опишем эти наблюдения.
11. В далёком космосе обнаружено нечто очень странное. В журнале Astrophysical Journal опубликована работа "Discovery of an unusual optical transient with the Hubble space telescope" (http://cnews.ru/top/print.shtml?2008/o9/11/317561):
В созвездии Волопаса на расстоянии 8,2 млрд св. лет обнаружен необычный переменный объект, яркость которого возрастала за 100 суток. Затем она за 100 суток снизилась в 120 раз. Объект невозможно отнести ни к одному из известных классов небесных тел вообще. Он находится вне каких-либо различимых галактик; по лучу зрения не удалось обнаружить даже какой-либо звезды. Быстрое изменение его свойств позволяет предположить его небольшие размеры – существенно меньше светового года в поперечнике. (Адрес новости: http://www.cnews.ru/news/top/index.shtml?2008/09/11/317561).
12. Предлагаемая нами интерпретация странного объекта. По нашему мнению, здесь, на замкнутой "велосипедной цепи" гравитона, появились сразу две волны грави-фононов с противоположными направлениями движения – по и против "часовой стрелки". Каждая из них гонит перед собой вал "пены" из периферийных облаков звёзд. При столкновении этих двух валов и их взаимном перекрытии происходит нарастание яркости свечения области перекрытия, а при их дальнейшем раздвижении свечение ослабевает. Такие циклы должны повторяться каждые полгода, и если это наше предсказание будет подтверждено в дальнейших наблюдениях, то это и можно будет рассматривать как факт прямого наблюдения облаков тёмной материи. Сообщалось, что спектры объекта имеют необычно широкие полосы поглощения, так что "валы пены", по-видимому, являются облаками газа с не слишком высокой температурой. Ширина полос поглощения видимо определяется разностью скоростей встречного движения двух валов из "пены грави-фононов".
В заключение отметим, что в работе [11] обсуждаются модели гравитации, отличающиеся от общей теории относительности Эйнштейна (ОТО) своим поведением на больших пространственных и временных масштабах. Предлагается рассматривать эти модели как возможные низкоэнергетические пределы некоторой неизвестной фундаментальной теории. Нам представляется, что изложенная выше картина квази-фононных волн на замкнутой струне гравитона, составленного из большого числа квинт-антиквинтовых пар волн со спином 3, и может служить подходящей моделью требуемого типа. В этой модели приписываемая гравитону планковская масса mPl=1028 эВ разбивается на сумму гораздо более мелких масс грави-фононов, что и является достоинством нашей модели.
13. Что свидетельствует о существовании тёмной материи (скрытой массы). В [13] перечислены проблемы, требующие введения представления о присутствии во Вселенной скрытой тёмной материи. Без вездесущей скрытой массы не удается объяснить ни плоские протяжённые кривые вращения галактик, ни динамику карликовых спутников в окрестностях массивных галактик, ни движения галактик в группах и скоплениях, ни гравитационное линзирование далёкими скоплениями, ни формирование крупномасштабной структуры Вселенной, ни рентгеновские короны скоплений галактик, а также множество других, совершенно независимых явлений. Но вот уже несколько десятилетий её никак не удаётся идентифицировать. Неизвестна даже форма, в которой находится эта скрытая (от современных наблюдений) масса. Хочется надеяться, что эта проблема и в самом деле будет решена! Хотя немного жалко терять столь интригующую загадку.
14. Новости Интернета в пользу нашей гипотезы о фононах на гравитонах. 22 марта 2009 г. появилось сообщение, что учёным удалось установить, что в некоторых областях ранней Вселенной звёзды могли располагаться в миллион раз плотнее, чем сейчас. Сейчас для окрестностей Солнца на 1 куб. св. год приходится примерно одна звезда. А в ранних ультракомпактных карликовых галактиках наблюдается плотность звёзд в миллион раз более высокая, и возникает вопрос – какая сила их стягивает. Расчёты показывают, что за время жизни таких объектов в них просто не успело бы скопиться количество тёмной материи, достаточное для такого стягивания. Но по нашей модели, для этого нужна не тёмная материя, а энергия фононных колебаний звеньев "велосипедных цепей" гравитонов, и такие колебания, по-видимому, успевают раскачаться за время жизни ультра компактных карликовых галактик в соответствии с нашей картиной, объясняющей описанный ранее в разделах 11–12 "странный объект".
15. Заключение. Данная работа состоит из двух частей, описываемых единой формулой статистического веса (1.3). В первой части формула применяется к общей теории конкуренции, примеры которой изображены на рис. 1–3 (распределение доходов и пр.). Показано, что формула (1.3) описывает известные законы: Парето, Ципфа, Лотки, Кудрина и пр. с учётом экспоненты, обрезающей левый край спектров.
Во второй части та же формула статистического веса применяется ко множеству квантов тёмной энергии и тёмной материи. Показано, что частицы так называемой тёмной материи нельзя обнаружить, так как она существует лишь в виде "фононов на гравитоне", т. е. звуковых колебаний замкнутой бозонной струны, которые вне струны существовать не могут.
Литература
1. Chatterjee A., Chakrabarti B.K. // Eur. Phys. J. B. 2007. V. 60. N 11. P. 135.
2. Трубников Б. А., Трубникова О. Б. // Природа. 2004. № 11. C. 13–20.
3. Трубников Б. А., Румынский И. А. // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, № 2, С. 270–273.
4. Трубников Б. А. // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196. № 6. С. 13–16.
5. Camacho J., Sole R. V. // Europhysics Letters. 2001. V. 55. P. 774–780.
6. Фейнман Р. Ф., Мориниго Ф. Б., Вагнер У. Г. Фейнмановские лекции по гравитации. М.: Изд. "Янус-К". 2000, с. 91.
7. Чернин А. Д. // УФН. 2008. Т. 178. С. 67.
8. Лукаш В. Н., Рубаков В. А. //УФН. 2008. Т. 178. С. 301.
9. Trubnikov B. А. //Arxiv.org. 812 1754.
10. Рябов В. А., Царёв В. А., Цховребов А. М. // УФН. 2008. Т.178. №11. С. 1129.
11. Рубаков В. А., Тиняков Н. Г. // УФН. 2008. Т. 178. № 8.
12. Трубников Б. А. // Препринт ИАЭ-6207/1. М., 2001. "Квантово-релятивистский век".
13. Решетников В. П. // Природа. 2003. № 3. С. 52.