Математическая модель элиминации

В. А. Грозных

 

Пусть задано множество элементов – простых сомножителей (единиц, штук, особей) , которые образуют текст длиной Т (общий перечень особей U), и пусть каждая особь-штука классифицируется так, что может быть отнесена к тому или иному виду. Тогда общее количество видов S составит словарь объёмом V. Особи одной численности объединяются в популяции (виды, представленные одинаковым количеством особей), образуя группы kєK, называемые кастами [1].

Пусть i=1, 2, 3, ... – возможная численность популяции: количество двоек, троек, пятёрок, семёрок и так далее (из ряда, соответствующего натуральному ряду чисел, последовательно подсчитывается общее количество каждого из встретившихся простых чисел при разложении каждого натурального числа на простые числа-сомножители). Видовое распределение может быть получено из текста Т (факториала N!) непосредственно, если выбрать вначале все виды, состоящие из одной особи (это, собственно все простые числа, большие чем N/2); они образуют тем самым первую (ноеву) касту k=1, общее число видов s в которой составляет , эмпирическая численность особей в касте – . Затем – все виды, представленные двумя особями, тремя и так далее (если все значимые строки нумеровать по порядку, то в этом случае число строк равно числу каст К, где К есть наличествующие популяции). Последовательность  назовём эмпирическим видовым распределением (распределением видов). Будем упрощённо считать однозначными обозначения [2]:

,                                                   (1)

где  – непрерывный аналог мощности (численности) популяций i (i – всегда дискретная величина, i=[x]; α>0 – характеристический показатель); постоянная распределения γ=1+α; , , где  – теоретическое и  – фактическое значение первой точки (ноева каста); А – постоянная распределения, которую находят из условий нормировки (хотя это теоретически и ошибочно из-за отсутствия математического ожидания и бесконечности дисперсии) [5].

Обозначим через  самую мощную (саранчёвую) популяцию (касту), т. е. численность вида, представленного наибольшим количеством особей (в данном случае это будут двойки).

Видовые распределения отличаются характером изменения . Устойчивую зависимость показывают "гипербола" Ω(х); для S(U) характерно относительно более медленное увеличение количества видов при увеличении выборки штук-особей.

Повторяемость d=U/S растёт;  – ноева каста (при увеличении выборки эта величина медленно уменьшается, как того требует теорема Гнеденко–Дёблина для бесконечно делимых негауссовых распределений).

Вторая форма Н-распределения – ранговидовое распределение Λ(r). Оно по определению получается из видового:  – количество особей вида (численность популяции  вида), соответствует рангу r при общем числе особей U (длина текста Т=|U|). Ранг вида s=1, 2, ..., , ..., S – это его порядковый номер (номер строки). Последний номер S, равный количеству рангов, определяет объём словаря V, можно записать V=|S|. Функция  записывается в виде:

, , ,                                 (2)

где В – абсолютная величина и характеристический показатель β>0 – константы ранговидового гиперболического Н-распределения.

Опираясь на формулы (1) и (2), предложим "модель простых чисел" гиперболического Н-распределения для изучения структуры физических, биологических, технических, информационных, социальных ценозов по критериям видового разнообразия и соотношения "крупное-мелкое" [3].

Примем в качестве канонического дискретное распределение простых сомножителей в факториале некоторого числа N. Назовём видом любое простое число , где r – номер простого числа натурального ряда чисел, абстрактно воспринимаемое из ряда: 2, 3, ..., , ..., а особью – появление этого простого числа как сомножителя (единица исключается) в любом из чисел натурального ряда. Тогда каждое натуральное число  представимо следующим образом:

, , (j=0, 1, 2, ..., m),                   (3)

где m – степень (встречаемость) простого числа, r – ранг простого числа. Например,  состоит из сомножителей , где вид  – двойка встретился как особь три раза, вид  – один раз. В целом для факториала, например, =100! двойка (саранчёвый вид) встретилась  встретилась (как особь) , тройка – 48 раз (, ), 10 чисел встретилось по одному разу (ноева каста). Общее число видов в системе S равно максимальному значению ранга – 11, суммарное количество особей равно тексту U – 239. Построение модели элиминации особей производилось при различных заданиях числа уничтожаемых особей, при этом полагалось, что происходит не просто исчезновение особи, а поглощение её более развитыми видами. Таким образом, если вид, состоящий из троек, поглощает вид из двоек, то при полном поглощении для 100! справедливо равенство:

,                                                                          (4)

решением которого является:

.                                                              (5)

Моделирование элиминации производилось различными способами:

1) последовательным увеличением всех видов на одну особь за счёт предыдущих – модель неработоспособна, поскольку в данном случае происходит элиминация высших видов за исключением последнего, число особей которого будет равно двум;

2) увеличением всех видов старше тройки на одну единицу – в данном случае график перемещается вправо, а саранчёвые виды исчезают. Найдена закономерность – оказывается, не только виды подчиняются Н-распределению, но и их потребности в энергии, росте, развитии.

Наиболее эволюционно развитый вид (для 100! это простое число 97) обладает характеристиками, способствующими его выживанию в большей мере, чем все остальные виды. Развитие данного вида, таким образом, осуществляется гораздо быстрее, если происходит поглощение эволюционно более развитых видов, поскольку таковые при выбранных условиях (100!) отсутствуют, и быстрое развитие наблюдается при поглощении себе подобных. Возникает противоречие – развитие отдельно взятой особи наиболее развитого вида при отсутствии ресурсов извне и прочих видов достигается за счёт уменьшения численности вида, т. е. элиминация вида в целом способствует развитию отдельно взятой особи. Стоит вспомнить утверждение Кудрина Б. И. – "наивысшая напряжённость конкурентной борьбы наблюдается именно внутри популяции одного вида". Выполненные азложения 100! (не приводятся), 1000! и 10000! (представлены таблично); элиминации саранчёвых видов с последующим ростом остальных видов на одну особь представлены на рис. 1–3.

 

1. Разложение числа 1000!

 

2. Базовые параметры разложения 1000!

 

Модели позволяют сделать вывод, что полное истребление отдельных видов приводит к значительным перекосам  в развитии экосистемы. Природа же выступает своего рода уравновешивающим началом. Появление человека делает более вероятной тотальную элиминацию отдельных видов. Рассмотрим это на простом примере:

,                                                                    (6)

допустим, произошла полная элиминация вида, представленного тройкой:

.                                                                    (7)

Будем так же полагать, что прямых связей между видами 5 и 2 не существует. В данном случае исчезает питательная база для вида 5, происходит его исчезновение, равно как и вида 7, вид 2 не ограничен другими видами и продолжает своё развитие далее до тех пор, пока не ограничится его ресурсная база или не появится в ходе эволюции вид, способный ограничить его численность.

Природой был найден выход из данной ситуации – не секрет, многие виды потребляют набор из других видов, что предотвращает сильные колебания численностей видов, а также сильные перекосы в экосистеме. Естественно, для большого количества видов смоделировать всёе многообразие межвидовых взаимоотношений невозможно, в общем случае и не нужно. Однако развитие отдельных видов становится вполне предсказуемым. Сравнение смоделированных кривых (изменения численностей видов) с Н-распределением стабильной экосистемы даёт возможность оценить  возникающие по тем или иным причинам патологии.

Введём понятие – высший эквивалент экосистемы, предположим:

,                                                                (8)

Тогда                  ; ;   ,                                                              (9)

.                                                                    (10)

Полученное значение округляем до наименьшего целого. Найденное число упаковывает всю последовательность видов в один наиболее конкурентоспособный и развитый вид и показывает наибольшую теоретически возможную численность особей этого вида. После достижения максимума теоретически возможны два случая: 1) быстрая элиминация; 2) медленная элиминация, которая сопровождается поглощением себе подобных.

Таким образом, модель, в сущности, строится на нахождении соответствия между простым числом и сложностью организации вида, в этом заключается основная сложность модели, не исключены ошибки. Кроме того, не учитываются потери в энергозатратах при поглощении.

 

            Литература

1. Кудрин Б. И. Философия технетики: основания постнеклассической философии техники. Вып. 36. "Ценологические исследования". М.: Технетика, 2007.

2. Кудрин Б. И. Классика технических ценозов. Общая и прикладная ценология. Вып. 31. "Ценологические исследования". Томск: Томский государственный университет – Центр системных исследований, 2006.

3. Кудрин Б. И., Ошурков М. Г. Электрика: Объект. Математика. Словарь. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та, 2004.

4. Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 13 / под ред. проф. Б. И. Кудрина. М.: Издательский дом МЭИ, 2007.

5. Кудрин Б. И., Гамазин С. И., Цырук С. А. Электрика: Классика. Вероятность. Ценология. Монографическое издание. Вып. 34. "Ценологические исследования". М.: Технетика, 2007.