// Техногенная
самоорганизация и математический аппарат ценологических исследований. Вып. 28.
"Ценологические исследования". – М.: Центр системных исследований,
2005. – C. 66-90.
ЦЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИЗМА ОБРАЗОВАНИЯ
Н-РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ РОЖДЕНИЯ
И ГИБЕЛИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
В.В. Фуфаев, Д.А. Калашников
В
Ni=p
, p
,…, p
, mj≥0, (j=0,1,2,…,m), Ni>1
(1)
где p - вид простого
числа; m - степень (встречаемость) простого числа, r - ранг простого числа.
Например, N20=20 состоит из сомножителей N20=p12p20p21=2·2·5, где вид
p1- двойка встретился как особь два раза, вид p2=5 - один раз (p2-тройка).
В целом для
факториала:
N!=2×3×(2×2)×5×(3×2)×7×(2×2×2)
×(3×3) ×(5×2) ×11×(3×2×2)
×13×…×N, (2)
Например 30!= 2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
. Двойка (саранчёвый
вид) p1=2 встретилась (как особь) m1=26 раз, тройка - 14 раз (p2=3, m2=14) и
т.д., 4 простых числа встретилось 1 раз (ноева каста). Последний номер r=10
определяет число видов в системе S. Cумма чисел 26+14+7+4+2+2+1+1+1+1 (сумма особей всех видов)
определяет число особей ценоза U. Числа ряда можно получать аналитически, но
проще и точнее (из-за дискретности величин) получать их прямым счётом. Ранговое
представление сомножителей простых чисел как модель ценоза приведено в таблице
1.
Таблица 1.
Ранговое
распределение для 30!
|
r |
p |
mj |
Моделируется в ранговой форме:
|
|
1 |
2 |
26 |
|
|
2 |
3 |
14 |
|
|
3 |
5 |
7 |
|
|
4 |
7 |
4 |
|
|
5 |
11 |
2 |
|
|
6 |
13 |
2 |
|
|
7 |
17 |
1 |
|
|
8 |
19 |
1 |
|
|
9 |
23 |
1 |
|
|
10 |
29 |
1 |
Если назвать видом любое простое
число pr, где r-номер простого числа натурального ряда чисел,
абстрактно воспринимаемое, из ряда: 2,3,5,7,...,137,139,149,151,...,509,521,523,541,...(2756839-1)..,
а особью - появление этого простого числа как сомножителя (единица исключается)
в любом из чисел натурального ряда, то в
распределении групп одинаковых сомножителей представления (2) появляется распределение
видов по повторяемости, иначе видовое распределение или видовое
Н-распределение. Оно может быть
получено либо напрямую из представления (2), либо сверткой рангового. Например, по табл. 1 рангового распределения для 30! виды простых
чисел, встретившиеся одинаковое число раз группируются в касты, которые
располагаются по степени встречаемости: сначала редковстречающиеся i=1 (для
рассматриваемого примера) в табл. 2 это первая каста K1 состоящая из четырех
видов, затем каста K2, состоящая из W(2)=2
видов, каждый из которых представлен двумя особями i=2 и т. д. Самая многочисленная саранчевая каста двоек K6,
состоящая из одного вида W(26)=1,
представленного 26-ю особями.
Фактически уравнение (2) и табличные представления
(табл. 1 и табл. 2) являются генератором канонического Н-распределения простых чисел.
Таблица 2
Видовое распределение по повторяемости для N=30
|
K |
i |
W(i) |
iW(i) |
P (наименование вида) |
|
1 |
1 |
4 |
4 |
17,19,23,29 |
|
2 |
2 |
2 |
4 |
11,13 |
|
3 |
4 |
1 |
4 |
7 |
|
4 |
7 |
1 |
7 |
5 |
|
5 |
14 |
1 |
14 |
3 |
|
6 |
26 |
1 |
26 |
2 |
|
|
|
S=10 |
U=59 |
|
Рис. 1. Видовое Н-распределение простых чисел.
Моделирование (аппроксимация)
видового распределениия по повторяемости технических изделий, простых сомножителей
и видовых распределений в других областях (биологии, экологии, экономике, наукометрии,
лингвистике, информатике, … [2, 7, 8, 26, 29, 30, 31, 32, 38, 39, 40, 41, 44, 45,
46, 48]) названо Б.И. Кудриным видовым Н-распределением,
как более общая форма законов Ципфа, Парето, Уиллиса, Фишера, Лотки, Бенфорда,
Брэдфорда и др. Видовое же
распределение простых чисел по повторяемости предложено называть каноническим [18].
Модель Н-распределения изображена на
рисунке 1:
, γ=1+α , W0=R1+α ,
(4)
где α – характеристический показатель; R –
показатель объема, ориентировочно оцениваемый R=K.
Так как при различных N получаются различные выборки, будем
называть конкретно встретившееся простое число особью, группу одинаковых особей
в пределах выборки популяцией и при N
→ ∞ группа особей одного простого числа есть вид простого числа. Это
полностью соответствует общепринятым определениям в биологии и экологии. В Н-распределениях технических изделий
популяция и вид как правило не различаются. Тот факт, что ранговое распределение является промежуточным при
построении видового, позволяет рассматривать только видовые распределения, имея
ввиду идентичность моделирования и для ранговых распределений.
Построение универсальной модели
динамики Н-распределений на основе
временных рядов простых чисел базируется на достигнутых результатах исследований
структуры в первую очередь техноценозов (понятие, впервые введенное Кудриным
Б.И. [18]), бизнесценозов (понятие, впервые введенное, как макроценоз, Фуфаевым
В.В. [34] в терминологии Лозенко В.К.), классических результатов исследований
экоценозов [2,32] и биоценозов [10,13], а также на теоретических основах
динамики структуры ценозов [34].
Первые предложения (первый этап) моделирования
Н-распределениями простых чисел относятся к 1974 году и заключаются в попытке
описания распределением простых чисел (1) и (2) статических Н-распределений
теплофикационных котлов городов: Кемерово, Анжеро-Судженск, Ленинск-Кузнецк,
Топки. Для Н-распределения котлов выбиралось из ряда N! статическое распределение
простых чисел с соответствующим количеством котлов, то есть при U= const. Для
данных Н-распределений количество одинаковых котлов и количество двоек
существенно не совпало. Саранчи, то есть двоек оказалось значительно больше,
чем одинаковых саранчевых котлов в обследовании (на это же указывая, применительно
к электродвигателям, главный электрик Запсиба – П.П. Селицкий)
В дальнейшем на многочисленном другом статистическом
материале из различных областей знаний повторялось одно и то же: при совпадении
ноевой касты редких видов и характеристического показателя (который определяется,
в основном, неоднородными кастами) происходит существенное несовпадение саранчевой
касты. Двойки из канонического Н-распределения
простых чисел объективно не описывают имеющихся более 1000 выборочных
обследований техноценозов (содержащих более 2,5 млн. изделий), а также статистику
из других областей знаний.
Вторым этапом являются модели статики Н-распределения простых чисел. Характерна,
в этой связи, предложенная [22, 23] классификация двух аномальных состояний: 1)
увеличение эффекта концентрации – слишком многочисленная саранчевая каста и 2)
увеличение эффекта рассеяния – слишком велика ноева каста. Предложенными
моделями с аномальными состояниями, по сути, открывается второй этап уже не
описательный, но модельный в применении канонического Н-распределения простых чисел к ценологическим исследованиям. Анализ
множества эксплуатируемого электрооборудования предприятий Саянского
территориально-производственного комплекса выявил существование Н-распределений
эксплуатируемых электрических двигателей с ярко выраженным эффектом
концентрации. Проявление эффекта связано с наличием оборудования иностранных
фирм, в совокупности которых очень мало видов, представленных одной особью.
Фактически это единственный случай хорошего совпадения с генератором
канонического Н-распределения по исследуемым техноценозам. Эффект рассеяния присущ, в
основном, выборкам ремонтируемого электрооборудования. Так, на Новосибирском
металлургическом заводе среди ремонтируемых электрических двигателей из 201
распределения 24 оказались аномальными. По одному разу встречается 50-60 %
видов. Это самый неэкономичный случай для электроремонтного производства. Индивидуальность установленного и ремонтируемого
электрооборудования резко снижает производительность труда и повышает затраты
на ремонт и обслуживание. Введением классификации аномальных состояний осуществлена
попытка использования в практике моделирования Н-распределений канонического простых чисел, в частности, для
решения задач сравнения структур ценозов.
Канонические модели растущего ценологического объема –
третий этап. Попытки моделирования динамики начались с предложения [24]
рассматривать ряд при N→∞ как динамический. Но ущербность динамической
модели растущего ценологического объема подтверждает [42, стр
70]. Неограниченного роста численностей популяций ценозов не существует. "…свободного размножения нет
даже у растений и микробов". Данный, третий этап можно рассматривать как
осмысление необходимости перехода к динамическому моделированию. Но хотя авторы достигнув в моделировании статики больших высот и называли это динамикой, но на самом деле это не
динамика, а некоторый ряд статических распределений упорядоченный по росту
параметров объема моделируемой совокупности. При N →∞ здесь и U→∞.
В этой связи данные модели не получили своего развития. Итоговым завершением
данного этапа моделирования явилось обобщение [20], в котором приведен
окончательный канонизированный облик модели в графическом виде обобщающими формулами расчета основных характеристик.
Канонизированная форма, которая представляет значительный интерес аналогично
изучаемым предельным теоремам теории вероятностей, но не может объективно описывать
динамические процессы, происходящие в структуре ценозов.
Канонические модели с гибелью видов – четвертый этап. Настоящий этап начинается с применения к каноническому
распределению Н-распределний
структурно-топологической динамики, введенной Фуфаевым В.В. в
В 
- количество неучитываемых первых по порядку видов)
с последующим выбором по определенному критерию модели, наиболее адекватной
объекту". То есть вместо постепенного отмирания – одномоментное исключение
сразу целого вида. Предлагаемая автором «в качестве критерия
устойчивость 40-60 % "ноева" каста (5-10% всех особей ценоза) и
принадлежность 40-60% особей к "Саранчевым" кастам, что соответствует
5-10% всех видов ценоза, которая сохраняется для преобразованной модели, начиная
с =5» - есть подгонка модели к некоторому
единственному наиболее «совпадающему» состоянию, да и не вполне точному по
определению критерия устойчивости. Под распределение, взятое как
отдельная реализация, то есть в статике, подбирается подходящее статичное же распределение.
При отсечении видов только "саранчевых"
каст, как отмечает автор [16], "форма распредлеления и динамика коэффициентов,
характеризующих видовое разнообразие системы, сохраняется". Для видового
распределения это означает односторонние изменения – только в составе частовстречающихся
видов. По нашему мнению частовстречающиеся виды в динамике развития ценоза
могут постепенно вымирать, оказываясь в спектре редких – "ноевых"
каст и, тем самым, внося изменения и в эту часть распределения, как впрочем и размножающиеся виды. Если говорить о статике, то
можно сделать допущение, что они взаимокомпенсируются, но динамика должна
рассматривать все процессы. «Стремление к сильной степени стабильности
структуры в статике», что фактически и получается, вовсе не свидетельствует о
надежном применении модели при составлении прогнозных моделей. Получается:
вначале моделью застабилизировали ранговый коэффициент, а затем фактически
константу прогнозируем. Автором отмечено, что "реальные статистические данные
предприятий, находящиеся в состоянии остановки или спада, распределению по
модели не соответствуют". Добавим, что в состоянии строительства и роста
тоже. То есть динамические объекты структуры техноценозов моделью с отсечением
описывать нельзя – они не являются моделью динамики, а по-прежнему представляют
собой усеченное каноническое статичное распределение. Главным регулятором
подбора моделирования у автора [16] является
ступенчатое одномоментное отсечение некоторого числа видов, чего в природе –
биологической, технической и других ценозов не бывает (разве что случай
катастрофы).
Алгоритм (теоретически разработанный в [37] и
исключающий недостатки [16]), в котором модели динамики Н-распределения простых
чисел включают процессы постепенного старения и гибели видов, к настоящему
времени окончательно реализован и
оформлен в виде программного комплекса имитационной модели, изложению основных
положений которого и посвящена настоящая статья.
Для построения более адекватной модели динамики Н-распределения на основе временных
рядов простых чисел (1) и теоретических основ динамики Н-распределений проведены
исследования процессов рождения и размножения в генераторе Н-распределений
простых чисел при росте N в N! при N→∞. На ЭВМ реализовано пошаговое построение видового Н-распределения при каждом шаге ∆N=1. В результате объективный
природный генератор рождения, размножения простых чисел формирует Н-распределение (например, табл. 2).
Особый интерес представляет в механизме генерации
временных рядов простых чисел (1) в последовательности N! параметр N – число
членов натурального ряда, из которого генерируется видовое распределение.
Параметр N представляет собой временной параметр генерации рядов простых чисел
– ценологическое время. Увеличиваясь этот параметр увязывает
число новых (родившихся) простых чисел и количество размножающихся уже существующих
видов во времени и, по сути, является видовым временем жизни популяций. В
исходном генераторе рядов (1) отсутствует составляющая – процесс старения и
гибели видов простых чисел и поэтому все популяции ценоза простых чисел
существуют с бесконечным видовым временем жизни. По сути это бесконечный ряд
статических Н-распределений с
растущим объемом выборки U→∞.
Проведен анализ процесса рождения в генераторе
Н-распределения простых чисел в ряду N! при N→∞ (исследован ряд до
N=6000). Закономерность рождения новых простых чисел изображена на рисунке 2.
Результаты анализа показали, что с увеличением N количество вновь появляющихся
видов стремится к некоторой постоянной величине, ориентировочно равной 12 на
каждые 100 N. При этом генерация носит колебательный характер. Нарастающим итогом
исследован ряд до N2=6000. На каждые 100N процесс появления новых простых чисел
приведен на рисунке 2. В результате анализа установлено, что закономерность
рождаемости новых видов при ценологическом времени N→∞ относится к
классу стационарных случайных функций. Осцилляции относительно тренда являются
случайной величиной, распределенной по нормальному закону распределения.
Исследования проведены согласно методологии [ 1, 4,
11, 12, 15, 17, 33, 43, 47].
Рис. 2. Зависимость количества рождения новых видов
простых чисел на каждые ΔN=100 нарастающим итогом в функции ценологического
времени N.
Рис 3. Закономерность роста (нарастающим итогом)
количества особей видов простых чисел в функции ценологического времени N. (График 1 –интервал до N=50. График 2 –
интервал до N=6300)
Далее проведен анализ процесса размножения популяций в
генераторе простых чисел. С помощью специально разработанной программы на ЭВМ
проведен анализ процесса увеличения численности популяций
всех видов простых чисел при N→∞. Установлено, что это
стационарные процессы с нормально распределенными осцилляциями относительно
трендов (рис. 3). Тренды описываются линейными уравнениями типа y=bx, значения
параметра, которого приведены в табл. 3.
Таблица 3
|
Вид |
2 |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
|
Параметр b |
1,00 |
0,50 |
0,25 |
0,17 |
0,10 |
0,08 |
Аналогичные закономерности приводятся при
исследованиях закономерностей появления новых видов техники [44], при
исследованиях кривых роста популяций в биологии [10], при анализе бизнесценозов
[34]. Аналогия закономерностей в различных областях (природе, технике,
экономике и др.) с характером процессов во временных рядах простых чисел
говорит о фундаментальности и адекватности выбранного генератора
Н-распределения простых чисел.
Соответствующие скорости размножения видов простых
чисел в виде угла φ (10) приведены на рисунке 4 при анализе до 3000-го
простого числа на временной оси N!
Рис. 4. Ранговое распределение значений угла φ
для видов простых чисел pm
Установлено, что при увеличении ценологического
времени N (исследован диапазон до N=6000) появление числа новых видов при N→∞ является невозрастающей
колебательной функцией, в то время как размножение количества особей всех уже
появившихся видов, по отдельности и в целом, неограниченно возрастает, причем
каждый вид со своей скоростью взаимоувязанной с соседними видами. То есть при N→∞ Ui →∞ и ∑ Ui
→∞.
Из этого результата вытекает гипотеза, что для
построения модели динамики структуры во времени генератор простых чисел задает
объективный природный процесс появления видов, образующих каноническое
Н-распределение, а регулировать необходимо процессом уменьшения (старения и
гибели) особей на уже заданной генератором структуре видов в динамическом ряду
на N→∞.
Таким образом, генератор Н-распределений простых чисел при U→∞ генерирует Н-распределение
в пределе с характеристическим показателем α→0. Постоянство рождения
числа новых видов простых чисел, гиперболическая зависимость падения скоростей
размножения особей, дающая φ=const при росте порядкового номера простого
числа в ряду N→∞, а также
предполагаемый факт ограничения роста U
генерирует Н-распределение простых
чисел в пределе с характеристическим показателем α→1. То есть
наложение на генератор Н-распределений простых чисел процесса ограничения
размножения уже появившихся в бегущем ряду по N! позволит охватить моделью весь диапазон 0‹α‹1.
Равномерная плотность рождения новых простых чисел при
падении и стабилизации скорости размножения при N →∞ в случае отсечения (по Исаеву) первых простых
чисел как видов Н-распределение
просто исчезает, превращаясь в равномерное по видам распределение особей.
Для того, чтобы правильно
включить в модель динамики процессы сокращения видов проведены исследования
процессов старения и гибели популяций в ценозах.
В разделе экоценозов [2,10] при описании кривых роста
популяций выделяются два основных типа. Первый Сигмоидная (S-образная) кривая,
например, (рис. 5):
Рис. 5. Кривая роста дрожжей в культуре
Происходит рост численности популяции, достигая
К-уровня (существуют варианты достижения). Этот тип, по сути, и заложен в
первые модели динамики Н-распределений простых чисел Якимова. Отсечение видов
по Исаеву – это уменьшение количества таких кривых в общей совокупности таких
зависимостей в ценозе.
Второй тип J-образная кривая, например, (рис. 6):
Рис. 6. Кривая роста дафний в культуре
Аналогична второму типу кривая (рис. 7):
Рис.7. Изменение численности популяции оленей.
В типе J-образных кривых во всех вариантах наблюдается
вначале рост численности популяции, затем он прекращается (с вариациями).
Может быть произведена оценка потенциальной скорости
естественного роста популяции [2, 6, 10, 14]. Если N – число особей в популяции и t- время, то скорость изменения
численности во времени dN/dt пропорциональна N, то есть 
, где r – константа, врожденная скорость роста
численности популяции, связанная с максимальной скоростью размножения особей
данного вида; чем выше скорость размножения, тем больше значение r. Уравнение описывает J-образную кривую роста популяции, где
рост не зависит от плотности. Если r положительно, численность популяции
увеличивается экспоненциально; если r отрицательно, численность популяции
уменьшается экспоненциально. Это отражает быстрые увеличения и уменьшения
численности популяции. Размеры популяции при этом не стабилизируются.
Если в уравнение вводится поддерживающая емкость среды К, то она отражает влияние среды на снижение роста
численности до определенного стационарного уровня, то есть описывает S-образную кривую роста или роста, зависящего
от плотности:
. Если N>K,
скорость роста отрицательна, если же K>N,
скорость роста положительна и численность популяции стремится к K=N, то есть приводится
в соответствие с поддерживающей емкостью среды. При K=N скорость роста популяции равна нулю и размеры популяции остаются
постоянными.
J- и S-образные
кривые - это идеальные модели роста популяции. При их
рассмотрении и описании предполагается, что все организмы сходны между собой,
имеют равную способность к размножению и равную вероятность погибнуть, так что
скорость роста в экспоненциальной фазе зависит только от ее численности и не
ограничена условиями среды, которые остаются постоянными. В зависимости от типа кривой роста численности популяции выделяют
стратегию развития популяций, определяемую такими свойствами, как скорость
размножения, характер передачи энергии от одного поколения другому, колебания
численности относительно равновесного значения, или К-уровня, скорость изменения
численности, приспособленность вида к конкретному ценозу, размеры особей,
продолжительность их жизни и т. д.
Кривую выживания можно получить, если начать с
некоторой популяции новорожденных особей и затем отмечать число выживших в
зависимости от времени. По вертикальной оси обычно откладывают или абсолютное
число выживших особей или их процент от исходной популяции. Каждому виду
свойственна характерная кривая выживания. Типичные примеры
которой приведены на рисунке 8, где:
А – чаще умирают наиболее старые особи, смертность
увеличивается с возрастом.
Б – уровень смертности одинаков для всех возрастных
групп, смертность постепенно повышается с возрастом.
В – чаще умирают молодые
особи, смертность уменьшается с возрастом.
Рис. 8. Три типа кривых выживания.
Переключение с одной кривой на другую может служить
параметром настройки имитационной модели для наиболее адекватного ее
соответствия реальной динамике исследуемого ценоза выбранной субстанции.
Можно предположить, что возраст это есть отрезок ∆N на ценологическом измерителе
времени – N в факториале N!
Один из основных факторов, влияющих на размеры
популяции, - это процент особей, погибающих до достижения репродуктивного
периода. В пределах данного вида эта величина гораздо более изменчива, чем
плодовитость. Для того чтобы численность популяции оставалась постоянной, в
среднем только два потомка каждой пары должны доживать до репродуктивного возраста.
Это позволяет предложить в формируемую модель пропорциональность размножения и
смертности.
Рис. 9. Число появившихся и вымерших
семейств и родов: а, б - семейства; а – появившиеся, б - вымершие; в, г - роды; в
- появившиеся, г - вымершие.
На рис. 9 представлены графики N+(t), N-(t), фоновых
скоростей появления и вымирания [13]. Из списка родов, использованных для
построения кривых, исключены археоциаты. Прежде всего
на рисунке обращает на себя внимание значительное сходство графиков появившихся
и вымерших. Скорости этих процессов совпадают (оси координат графиков
развернуты относительно друг друга). Оно проявляется в наличии протяженных
почти прямолинейных участков, занимающих сходное положение. Так, почти прямые
характеризуют появление как семейств, так и родов с
начала аренига до конца турне или вымирание в юре и раннем мелу и в других случаях,
хорошо видных на графиках.
То есть, наука палеонтология полностью подтверждает
структурно- топологическую динамику и устойчивость структуры ценоза на
протяжении млн. лет. Аналогичные результаты приведены в [5, 9]. Генератор Н-распределения простых чисел позволяет моделировать и такие промежутки –
ценологическое время N→∞.
Два симметрично отображенных графика на рисунке, демонстрирующие появившиеся и
вымершие виды наглядно демонстрируют одинаковые скорости разнонаправленных
процессов, подтверждая и здесь высокий коэффициент конкордации и
взаимосогласованность траекторий структурно-топологической динамики.
В технических системах типа техноценоз, так же
существуют процессы старения особей-изделий и списания (постепенное)
устаревших морально видов изделий, причем процессы эти происходят на более
коротких интервалах времени, чем в биологии. Самый яркий пример - исчезновение
485-го процессора как вида и ускоряющееся исчезновение особей процессора Pentium
1. Для электрических двигателей промышленных предприятий хорошо изучен процесс
формирования массива ремонтируемых электрических двигателей [35], который и
является как бы умершими особями. В ценологических выборках структурно-топологическая
динамика как раз и показывает эти два встречнонаправленных движения гибели и
размножения, теснота взаимосвязи которых формализуется высоким коэффициентом
конкордации (6) и согласованными углами φ (7).
В бизнесценозах, например,
сокращается (стареют) особи некоторых видов деятельности, а также исчезли (погибли)
виды деятельности – производство и ремонт патефонов, паровозов и т.д. Достаточно фундаментально процесс рождения и гибели
видов в бизнесценозе исследован с
Таким образом, в ценозах различной природы реально
присутствуют два разнонаправленных постепенных процесса рождения новых видов,
увеличения численности существующих и противонаправленный процесс старения
особей и исчезновение видов. Процессы с учетом изложенных результатов анализа генератора
Н-распределений простых чисел, теоретических основ динамики структуры ценозов и
основ популяционной ценологии заложены в основу функционирования имитационной
модели динамики структуры ценозов рядами простых чисел.
Объектом моделирования является динамика Н-структуры ценозов во времени типа
техноценозы [7, 18], биоценозы [10], социоценозы [3], экоценозы [2], бизнесценозы
[34], для которых соблюдается условие стабильного во времени количества особей
в ценозе U=const. Это условие
присуще, как правило, любому выделенному нормально функционирующему ценозу вне
стадий зарождения и взрывоподобной гибели. Для некоторых ценозов наблюдается
незначительный рост (или уменьшение) числа U,
что не оказывает существенного значения на фундаментальные результаты моделирования.
Для некоторых ценозов можно рассматривать равнозначное условие Uср= const, так
как флуктуации соответствуют нормальному закону распределения, что следует из
исследований [36]. Именно этот случай рассмотрен в модели виртуальной касты
[35].
В реальных эмпирических распределениях (обследовано
более 500 выборок) количество особей остается константой
на протяжении длительных интервалов времени, увеличиваясь в момент «взросления»
ценоза и колеблясь (либо медленно возрастая) в сформировавшемся (согласно
проекту для техноценозов) состоянии структуры популяций.
Условие U=const
достигается при построении модели с использованием временных рядов простых
чисел в наложении на временные ряды простых чисел по (1) процесса старения и
гибели: конечный ряд, множество всех простых чисел которого равно задаваемому
объему выборки, скользит по факториалу переменной, стремящейся к бесконечности
[37].
Существование объективной реальности
в ценозах любой природы не только процессов рождения и размножения, но и
старения и гибели особей, популяций, видов в целом, а также отсутствие ценозов
с быстрорастущим общим количеством особей (U→∞)
ставит перед однозначностью выбора объекта моделирования, который заключается в
моделировании Н-структуры ценоза любой природы при главном ограничении –
постоянство некоторого общего количества особей (элементов, процессов, изделий,
предприятий и т.д.) при изменяющемся
количестве видов и их количественном соотношении, то есть U=const (Uср=const), S=var.
Весь процесс моделирования по
сути заключается в наложении на естественный процесс рождения и размножения
простых чисел процессов старения и гибели видов простых чисел. Регулятором
модели является различные скорости старения и гибели разных видов простых
чисел, последовательно появляющихся в N! при N→∞ в различных
вариациях, имитация которых позволяет подобрать модель
наиболее адекватно описывающую динамические процессы, происходящие в структуре
ценозов соответствующей природы.
Н-распределение, получаемое в результате предлагаемой
модели динамики уже не будет являться каноническим, которое остается базовым
(аналогично нормальному закону) для сравнения двух и более неканонических
Н-распределений и для ориентира в степени "ухода".
Принцип построения модели заключается в следующем.
Весь процесс моделирования происходит для N! по (2) на
временном отрезке от 2 до N при N→∞ (то есть на "стреле
ценологического времени") при главном ограничении U=const.
Элементарным актом (шагом) является генерация
Н-распределения простых чисел в каждой точке с шагом ∆ N=1, начиная с N1 (которое
может задаваться из любой точки N).
При задаваемом N2 (желаемом конечном ценологическом времени моделирования)
генерация производится до тех пор, пока при некотором Ny, которое должно быть меньше N2 не произойдет выполнение условия U=const. В этот момент (конце первой фазы работы модели) программа вычисляет угол
φ для каждого простого числа.
Далее, с момента Ny
задается автоматически (программно) бегущий ряд [37] объемом U=const до N2. Реализуется эта процедура путем наложения алгоритма постепенной
(аналог старения) и взаимоувязанной между видами гибели особей простых чисел.
На каждом последующем шаге реализуется динамика Н-распределений (шаг динамики
возможен и более, чем N=1, что задается соответствующим параметром модели "Шаг"
и является настроечным параметром имитации модели).
Начиная с Nу
до указанного N2 перебираются все N. На каждом шаге текущий N
раскладывается на простые числа и производятся
следующие операции.
Допустим при разложении Nу+1 появилось X двоек и Y троек. Модель берет текущий угол Фи
двойки (j2) и ищет простое число с
углом Фи, ближайшим к углу Фи двойки (пока естественно это простое число – 3 (j3)). Затем, модель берет фи двойки и в процентном
отношении убивает D2 двоек. Это количество вычисляется по следующей формуле:
(12)
где, X –
вновь появившееся количество двоек; j2 – текущий угол Фи двойки;
Speed – параметр модели "Коэффициент скорости", которой задается в начале
работы модели. Коэффициент скорости позволяет ввести задержку во времени гибели
особей видов простых чисел. То есть изменить скорость отмирания не
пропорционально рождению (угла фи), а на x%
медленнее, то есть начальный угол фи смертности на x%
больше, чем фи рождения. Так как углы фи у каждого простого числа свои, то,
следовательно, ∆φ у двойки, скажем 10% от
своего фи, у тройки ∆φ=10% от своего первоначального и т.д. Этот
алгоритм позволяет "затормаживать" процесс гибели вида. Коэффициент
устанавливается в пределах от 0 до 9. Чем он больше, тем медленнее убиваются особи простых чисел с течением ценологического
времени.
Одновременно с (12) модель добавляет D3 троек. Это
количество вычисляется по аналогичной формуле: 
где, Y – вновь появившееся количество троек; j3 – текущий угол Фи тройки;
Speed – параметр модели "Коэффициент скорости". Аналогичная процедура
для каждого последующего простого числа в массиве. Как только произойдут все
перетекания, то углы фи у всех видов простых чисел пересчитываются (на каждом
шаге N), так как количество особей
простых чисел существующих, как бы "старых" видов изменилось. Если на
определенном шаге модели в качестве N!
появляется новое простое число, модель, для сохранения U=const, убивает одну особь самого многочисленного на текущий
момент простого числа.
В модели скорость гибели особей каждого последующего
вида связана с постоянно меняющейся на каждом шаге N скоростью размножения
предыдущего вида (по углу Фи). Таким образом модель самоорганизуется: скорость гибели регулирует
угол фи. Например особи двойки сначала умирают быстро,
а под конец своей жизни как вида все медленнее. Модель работает по принципу "без
обгонов", то есть двойка как вид исчезает быстрее вида тройки и т .д.
Процедура обработки массива простых
чисел длится, пока текущий N не станет равным N2.
Результат работы модели наглядно представляется на
стреле ценологического времени N. На
рисунке 10 изображен период динамики с N1=500
до N2 =2000, шаге ∆N=50 и U=const=1376. Представлена самоорганизующаяся последовательная
цепочка сокращения численности видов для достижения цели U=const в динамике.
Падающий ряд двоек (-2-) на рисунке при встрече с растущим
пока рядом троек (-3-) меняет свой угол фи, а тройки прекращают размножаться и
начинают отмирать. Затем аналогичная ситуация с пятерками, которые
разворачиваются при встрече с тройками, но и угол фи двоек в этот момент опять
поменялся и так далее.
Для регулирования скорости гибели особей
последовательно появляющихся новых видов разработана наглядная технология
огибающей с регулируемым параметром "Показатель огибающей", которая
заключается в следующем. Технология огибающей есть "графический алгоритм
модели гибели простых чисел": через точки, в которых очередной вид
простого числа меняет процесс размножения особей на процесс вымирания
проведена линия, которая и названа PN –огибающей (рис. 11). От
параметров этой огибающей в значительной степени зависит взаимоувязанные
самоорганизующиеся процессы размножения и гибели видов простых чисел
(существующих и появляющихся). Именно эта огибающая регулирует углы (скорости)
убивания моделью особей видов простых чисел.
Например, можно задать вариант такой: модель начинает убивать тройки не тогда когда пересекутся с
двойками, а когда достигнут некоторого задаваемого значения, рассчитываемого из
уравнения огибающей y=N0c/x 0,4 , где
N0c – это количество двоек в статике
(в первом распределении при N1!); x –
номер по оси N, очередная по номеру
по порядку, начиная с 1, точка на оси N!. 0,4 – это степень. По данному уравнению рассчитываются до
какого значения должно расти очередное простое число. Двойки же в этой точке
изменяют угол фи (аналогично как было при пересечении тройки с двойкой, пятерки
с тройкой и т.д.). Процедура в целом та же включая
манипуляции с углом фи. Условие U=const
по прежнему должно сохраняться. Результат одного из
получаемых вариантов приведен на рисунке 11. Видно, что по сравнению с
предыдущим вариантом (рис. 10) существенно увеличены сроки жизни последующих (новых)
видов простых чисел за счет более быстрого сокращения первых видов (старых,
например двоек, троек). Визуально это проявляется в приподнятости огибающей.
Таким образом, задавая параметры
огибающей в дополнение к имеющимся параметрам сможем получать динамику
совокупности популяций в ценозе, укоторых различные кривые выживания (рис. 8).
В принципе, имитационная модель может реализовывать любые уравнения огибающей
для получения наиболее адекватной модели динамики структуры ценозов. Возможны
оптимизационные модели и модели с элементами управления структурой по различным
критериям, аналогичные модели виртуальной касты [35].
Имитационная модель фактически реализует
структурно-топологическую динамику Н-распределений простых чисел и результатом
является динамический ряд Н-распределений с определенными параметрами: N1;N2;U=const; шаг динамики;
самоорганизующийся угол фи, задаваемый огибающей; коэффициент скорости
(задержки).
N2 N1 N1=500, N2=2000, S1=95,
S2=303, U=const=1376, шаг=50
Рис. 10. Модельная самоорганизация процесса старения и гибели
видов простых чисел.
N1=1000, N2=10000,
U=const=2877, шаг=10
Рис. 11. Регулирование модели параметром PN-огибающей
Динамический ряд представляется в
виде динамики первого рода – обобщенных параметров W1(t), N0(t), γ(t)
либо в виде структурно-топологической динамики, фрагменты которой для отдельных
популяций простых чисел изображены на рисунке 12.Из рисунка видно, что некоторые
саранчевые виды – двойки, тройки, пятерки медленно уменьшаются в численности,
но на их место приходят новые виды, постепенно размножаясь (число 17, число
19). Процессы взаимокомпенсированы
и сохраняют устойчивость Н-распределения в целом. Модель в режиме реального времени выдает результаты
своей работы на экран, а также записывает эти промежуточные результаты в
текстовые файлы для дальнейшей обработки и анализа, например, методами [27].
Теоретические результаты имитационного моделирования
можно обобщить следующим образом.
Наложение на процесс рождения и размножения видов
простых чисел в генераторе динамического ряда Н-распределения процессов старения и гибели позволили избавиться от
недостатка Н-распределения простых
чисел, заключающегося во-первых в низком (по отношению
к статистическим исследованиям) значении характеристического показателя,
которое при моделировании обычным способом быстро стремится к нулю
(α→0) и во-вторых в неоправданно длинном хвосте распределения –
завышенном (по отношению к реальной статистике) значении
саранчевой касты N0 (количество двоек). Модели с данными недостатками можно
отнести к нижней границе моделей динамики и назвать их саранчевыми Н-распределениями.
Учет процессов старения и гибели видов простых чисел
привел в крайних значениях настроечных параметров к возрастанию
характеристического показателя α→1 и значительном увеличении ноевой
касты W0 (количество видов простых
чисел, представленных одной особъю). Таким образом
модель в пределе приводит к верхней границе динамики Н-распределения простых чисел.
Как в настоящей модели, так и ранее на многих
эмпирических материалах доказано, что и для временных рядов простых чисел
характеристический показатель не является константой, а находится в границах
αN0 ‹ α ‹ αW0. При этом установлено, что αN0=0,4 и по результатам настоящего анализа
на модели динамики Н-распределения простых чисел αW0=0,8. Получены пограничные Н-распределения – от саранчевого до
ноевого. Определены границы самоорганизующейся модели динамики Н-распределения
простых чисел. Более точен для моделирования на практике вариант периодической
огибающей, который приводит к циклическим колебаниям Н-распределения между
пограничными кривыми. Улучшает адекватность и применения принципов композиции
неполных циклов рождения и гибели [25], а также использование подходов
нелинейной динамики [28].
По результатам исследования модели в зависимости от
настройки параметров имитации старения и гибели видов простых чисел
классифицированы 5 типов возможных вариантов моделирования динамики (эволюции)
структуры ценозов:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1. Расходящаяся эволюция; 2. Ноевая революция; 3.
Саранчевая революция; 4. Увеличение разнообразия; 5. Увеличение
однообразия. |
||||
Рис. 12. Фрагменты структурно-топологической динамики
видового распределения простых чисел
Таким образом, впервые разработана имитационная модель
динамики Н-распределения простых
чисел, базирующаяся не только на процессе рождения и размножения простых чисел,
но и учитывающая процесс старения и гибели видов простых чисел и охватывающая
все возможные варианты моделирования эволюции структуры ценозов любой природы.
Проверка имитационной модели динамики Н-распределения простых чисел на адекватность
описания реальной структуры ценоза проведена, для примера, на длинных непрерывных
временных рядах Н-распределений
ремонтируемых (помесячно, поквартально, по полугодиям, по годам) электрических
двигателей за 18 лет в объединении "Абаканвагонмаш" и в ПТП "Черметэлектроремонт"
(централизованный ремонт заводов черной металлургии Европейской части России).
Статистические данные для проверки основаны на [21].
Анализ вариантов верификации модели показал, что на
всем диапазоне моделирования 0<α<1 (при U=const) устойчивость значения характеристического показателя
α гарантируется самой природой генерации Н-распределений простых чисел и фундаментальностью процесса
рождения и гибели видов простых чисел в виде структурно-топологической динамики,
заложенной в основу модели.
Тогда проверка адекватности моделирования
формализуется степенью совпадения параметров ноевой (W1) и саранчевой (N0)
каст. Для этой цели создано специальное приложение к программе имитационной
модели, которое перебирает все варианты
(изменяя настроечные регуляторы) моделирования на предмет совпадения с
показателями W1 и N0. Регуляторы модели, при которых происходит совпадение и будут являться параметрами
имитационной модели, при которых она наиболее адекватно описывает динамику
Н-распределения выбранного для моделирования ценоза.
Исследование закона распределения параметров W1 и
N0 показал, что эти параметры для выборок помесячно, поквартально, по
полугодиям, по годам рядов ремонтируемых электрических двигателей соответствуют
нормальному закону распределения случайной величины. Учитывая данный факт, что
подтверждается также исследованиями [36], для проведения проверки точности моделирования
рассматриваемой статистики необходимо использовать средние значения параметров 
и 
для однородных выборок в динамике как оценок
математического ожидания их нормального распределения. Результаты проверки
адекватности моделирования приведены
в таблице 4.
Из таблицы видно, что имитационная модель адекватно
описывает реальную динамику структуры потоков ремонтируемых электрических
двигателей: математическое ожидание ошибки не превышает для месячных выборок –
1%, квартальных – 2,5%, полугодовых – 5,5%, годовых – 13,5%.
Результаты проверки на адекватность позволяют
зафиксировать регулировочные параметры имитационной модели, при которых
погрешность моделирования минимальна (табл. 5).
Для примера в таблице 6 приведено статическое
Н-распределение, взятое как временной срез (фотография) динамического ряда Н-распределения простых чисел при определенных
настроечных параметрах имитационной модели в сравнении с одним из эмпирических
распределений.
Таблица 4
Результат проверки адекватности моделирования динамики
Н-структуры
ремонтируемых электрических машин
|
|
ПО "Абаканвагонмаш" (266 Н-распределений) |
ПТП
"Черметэлектроремонт" (60 Н-распределений) |
|||||||||
|
Месяц |
Квартал |
Полгода |
Год |
Месяц |
|
||||||
|
W1 |
N0 |
W1 |
N0 |
W1 |
N0 |
W1 |
N0 |
W1 |
N0 |
|
|
|
Мат.
ожидание |
24,24 |
11,62 |
51,19 |
26 |
80,55 |
49,86 |
126,82 |
94,36 |
31,31 |
15,63 |
|
|
Дисперсия |
82,75 |
17,35 |
278,55 |
67 |
659,69 |
357,08 |
1947,56 |
1453,06 |
131,16 |
59,84 |
|
|
σ |
0,83 |
0,38 |
2,43 |
1,20 |
5,48 |
4,03 |
13,31 |
11,49 |
1,59 |
1,07 |
|
Таблица 5
Регулировочные параметры имитационной модели
|
Выборки |
Параметры моделирования |
||||
|
speed |
ogib |
шаг |
N1 |
N2 |
|
|
Месячные
|
0 |
0,4 |
1 |
30 |
300 |
|
Квартальные |
0 |
0,4 |
1 |
50 |
700 |
|
Полугодовые |
0 |
0,4 |
1 |
100 |
1000 |
|
Годовые |
0 |
0,4 |
1 |
200 |
1500 |
Определяя на временных статистических рядах
математическое ожидание и дисперсию, как бы, рассматривается динамических ряд
за Δ t = 1 месяц (18 лет). Подбиранием под эти
показатели случайной величины (учитывая нормальность распределения) параметров
имитационной модели, фиксируется то среднее Нср–распределение,
которое адекватно моделирует динамический ряд Н-распределений на определенном интервале 18 лет при выбранном
Δ t , что гарантирует надежный ряд предыстории для задач прогнозирования.
Таким образом, данная часть
программного комплекса обеспечивает одновременно 1) проверку адекватности моделирования
и 2) настройку параметров имитационной модели для моделирования динамики
структуры выбранной природы выборок на основе природного генератора
Н-распределений простых чисел и структурно-топологической динамики временных
рядов рождения и гибели видов простых чисел, что обеспечивает фундаментальность
и устойчивость результатов моделирования динамики структуры ценозов и возможного
прогнозирования эволюции ценозов различной природы.
Таблица 6
Видовое распределение электрических двигателей
(ОКТЯБРЬ
|
K |
I |
W(i) |
i*W(i) |
Характеристика
вида |
|
1 |
1 |
23 |
23 |
0.18
4А; 320.0 4А; 75.0 4А; 1.1 4А; 7.5 MTF; 37.0 MTF; 3.0 АИР; 6.8 иност.; 18.5
иност.; трансформ; трансформ. 380/480; трансформ 0.25 кВА; трансформ ОСМ;
двигат. 2-Х скоростн.; 3.0 двиг. пост. тока; плита эл. магнит. япон.; электромуфта;
электромуфта япон.; генерат. с автоматом 12 А; двигат.
с ЧПУ; КПА; стартер болгарский; электродрель. |
|
2 |
2 |
6 |
12 |
3.6
4А; 0.27 АОЛ; 2.2 двигат. пост. тока; двигат. постоян. тока; катушка 220 В; стартер. |
|
3 |
4 |
1 |
4 |
катушка
электромагнита. |
|
4 |
7 |
1 |
7 |
1.5
4А. |
|
5 |
8 |
1 |
8 |
катушка |
|
6 |
10 |
1 |
10 |
электромагнит. |
|
7 |
22 |
1 |
22 |
катушка
380 В |
|
К=7;
W=34; U=86; D=2,53. |
||||
Временной срез динамического ряда H-распределения
простых чисел.
W1=23; N0=22; U=84; N1=40; N2=200; Speed=0; Ogib=0,4
|
K |
I |
W(i) |
i*W(i) |
Характеристика
вида |
|
1 |
1 |
23 |
20 |
3,
23, 31, 41, 43, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139 |
|
2 |
2 |
3 |
8 |
37,
47, 71 |
|
3 |
3 |
3 |
6 |
17,
19, 29 |
|
4 |
5 |
1 |
4 |
13 |
|
5 |
9 |
1 |
8 |
11 |
|
6 |
10 |
1 |
11 |
7 |
|
7 |
22 |
1 |
18 |
5 |
S = 34 U =
84 d = 2,47058823529412 W1 = 23
N0 = 22 Гамма = 1.95
Выводы
Открытие 30 лет назад объективной закономерности
генерации канонического Н-распределения
простых чисел (генератор Кудрина), позволило начать этап универсального
моделирования структуры ценозов любой природы чисто математической закономерностью,
являющейся аналогом предельного закона распределения для случайных величин,
распределенных по негауссовому закону.
На основании исследования процесса
рождения и размножения видов простых чисел в генераторе Н-распределений при росте ценологического времени N! установлены и
формализованы закономерности равномерной плотности рождения новых видов простых
чисел и гиперболическая закономерность в уменьшении скорости размножения
каждого вновь родившегося вида простого числа, что гарантирует при ограничении
размножения видов постоянством объема выборки моделирование всего диапазона
0<α<1.
Теоретические основы структурно-топологической
динамики ценозов являются фундаментальной закономерностью, обеспечивающей
механизм имитационного моделирования динамики Н-распределений временных рядов простых чисел.
Формализован механизм старения и гибели популяций,
полученный на основе исследования закономерностей, оказавшихся идентичными для
ценозов различной природы.
Разработана имитационная модель динамики Н-распределения простых чисел, базирующаяся
на наложении на процесс рождения и размножения простых чисел процесса старения
и гибели видов простых чисел и охватывающая все возможные варианты моделирования
эволюции структуры ценозов любой природы.
Проверка имитационной модели динамики структуры
ценозов рядами простых чисел на адекватность описания реальной структуры ценоза
показала высокий уровень точности моделирования при ошибке для техноценозов
1÷5%.
Литература
Бендат Д., Пирсол А. Прикладной анализ случайных
данных. – М: Мир, 1989. – 260 с.
Бигон М., Харпер Дж., Таунсенд
К. Экология. Особи, популяции и сообщества: в 2-х т. – М.: Мир, 1989. – 1144 с.
Богатырева О.А. Концепция социальных сукцессий //
Теоретические проблемы социальной биологии. – Новосибирск, 1991. –
44 с.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969.
Вольтера В. Математическая теория борьбы за
существование. –М.: Наука, 1976. 285 с.
Гаврилов Л.А., Гаврилова Н.С. Биология
продолжительности жизни – М.: Наука. 1991. – 280 с.
Гнатюк В.И. Моделирование и оптимизация в
электроснабжении войск. Ценологические исследования.Вып.4.
- М.: Центр системных исследований,1997. - 216 с.
Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные
распределения для сумм независимых случайных величин. - М.-Л.: Госиздат, 1949.
–264 с.
Грант В. Эволюционный процесс. - М.: Мир, 1991. - 488 с.
Грин Н., Стаут У., Тейлор Д. Биология: в 3-х т. – М.:
Мир, 1993. – 825 с.
Гуляев А.И. Временные ряды в динамических базах
данных. - М.: Радио и связь, 1989. - 128 с.
Гутер С.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа
и математическая обработка результатов опыта. - М.: Наука, - 1970. -432 с.
Дмитриев В.Ю. Проблемы эволюции таксономического
разнообразия. Дисс. на соиск. уч. Степ. докт. биол. Наук. М. – 2002. – 139 с.
Жизнеспособность популяций / Под. ред. М. Сулея. -М.: Мир, 1989. -224 с.
Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. -
М.: Наука, 1983. – 304 с.
Исаев А.С. Математические модели дискретных величин //
Математическое описание ценозов и закономерности технетики. Вып. 1
«Ценологические исследования» - Абакан: Центр системных исследований, 1996. С.
215-229.
Кендэл М. Временные ряды. – М: инансы и статистика,
1981. – 199 с.
Кудрин Б.И. Введение в технетику. - 2-е изд., перераб.
и доп. - Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 1993. - 552 с.
Кудрин Б.И. Отбор: энергетический, естественный,
информационный, документальный, общность и специфика // Электрификация
металлургических предприятий Сибири. Вып. 5. – Томк: Том.
гос. ун-т, 1981. - С. 111-187.
Кудрин Б.И., Кудряшов С.А., Фуфаев В.В., Якимов А.Е.
Канонизация и управление видовой структурой ценоза. Принцип максимума энтропии.
Доклады МОИП
Кудрин Б.И., Фуфаев В.В. Статистические таблицы
временных рядов Н-распределений. Справочник в двух томах. Том первый –
электрооборудование.– Абакан: Центр системных исследований, 1999. – 352 с.
Кудрин Б.И., Якимов А.Е. Моделирование структуры
множества изделий, образующих электрические ценозы // Межвуз. сб. № 37. - М.:
Моск. энерг. ин-т, 1984. - С. 34-39.
Кудрин Б.И., Якимов А.Е. Определение основных
параметров эмпирических Н-распределений электрических ценозов // Межвуз. сб.
тр. № 59. - М.: Моск. энерг. ин-т, 1985. – с. 3.
Кудрин Б.И., Якимов А.Е., Фуфаев В.В. Моделирование
структуры установленного электрооборудования распределением простых чисел //
Сб. науч. Трудов №
Лазарев И.А. Композиционное проектирование сложных
агрегативных систем. - М.: Радио и связь, 1986
Ланге О. Введение в эконометрику. - М.: Прогресс,
1964. – 295 с.
Мэрфи Джон Дж. Технический анализ фьючерсных рынков:
теория и практика. -М.: Сокол, 1996. – 592 с.
Николис Г., Пригожин Н. Познание сложного.
М.:Мир,1990.-344с.
Орлов Ю.К. Информационные потоки: статистический
анализ и прогнозирование // Научно-техническая информация. Сер. 2. - 1980. - №
2. - С. 23-30.
Песенко Ю.А. Принципы и методы количественного анализа
в фаунистических исследованиях. - М.: Наука, 1982. – 287 с.
Петров В.М., Яблонский А.И. Математика и социальные
процессы (Гиперболические распределения и их применение). - М.: Знание, 1980. –
64 с.
Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные
структуры и катастрофы в экологии. - М.: Наука, 1987. – 368 с.
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных
на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. – М.: ИНФРА - М., 1998. – 528 с.
Фуфаев В.В.
Основы теории динамики структуры техноценозов Математическое описание
ценозов и закономерности технетики. Вып. 1. Ценологические исследования. - Абакан:
Центр системных исследований. ЦЕНТР СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ, 1996. – с. 156-193
Фуфаев В.В. Ценологическое определение параметров
электропотребления, надежности, монтажа и ремонта электрооборудования
предприятий региона. - М.: Центр системных исследований, 2000. – 320 с
Фуфаев В.В., Кучинская О.А. Учет разнообразия
электрических двигателей промышленных предприятий при организации
электроремонта // Промышленная энергетика. - 1995. - № 9. – с. 42-48.
Фуфаев В.В., Фуфаева Л.Д. Каноническая модель
структурно-топологической динамики Н-распределения // XI сессия Всесоюзного
научного семинара «Кибернетика электрических систем». Абакан: Хакасская
областная организация Союза НИО СССР, 1989. – с.42
Хайтун С.Д. Наукометрия. Состояние и перспективы. -М.:Наука,1983. –344 с.
Хинчин А.Я. Предельные законы для сумм независимых
случайных величин.- М.-Л.: ОНТИ, 1938. – 116 с.
Частотный словарь русского языка. - М.: Русский язык,
1977. – 936 с.
Чайковский Ю.В. О природе случайности. Вып. 18.
Ценологические исследования. – М.: Центр системных исследований. 2001. – 280 с.
Чайковский Ю.В. Эволюция. Вып. 22. Ценологические
исследования. – М.: Центр системных исследований. 2003. 472 с.
Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика.
- М.: Финансы и статистика, 1982. – 319 с.
Яблонский А.И. Математические модели в исследовании
науки. - М.: Наука, 1986. - 352 с.
Lotka A. The freguency distribution of scientific
productivity. – J. Wash. Acad. Sci., 1926, vol. 16, p.317-323.
Pareto V. Cours d’economie politigue. Lausanne, -1897.
-Vol. 2. C.1.
Yule G.U. A mathematical theory of evolution based on
conclusions of Dr. I.C.Willis // Philosophical Transaction of the Royal
Society. London. 1924. Ser. B., Vol. 213. - P.21-87.
Zipf G.K. Human
behaviour and the principle of least effort. Gambridge: Addison-Wesley,
1949. - ¹ 11. - 573 p.