Исаев А.С., Жичкин С.В.

ГИПОТЕЗЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУРЫ ТЕХНОЦЕНОЗОВ ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ

 

Рассматривая сложные технические объекты как крупные системы, состоящие из большого числа органично взаимосвязанных элементов, для решения различных задач необходимо семейства структурных единиц (особей) U рассматривать как некоторую целостность. Системные свойства объекта исследования, определяющие принципиальную невозможность применения детерминистических  методов, приводят к гиперболическим Н-распределениям [1].

Для рангового видового распределения принята зависимость:

 ,                                                                                        (1)

где   U(r)-число особей одного вида, шт.; В - коэффициент аппроксимации; r - номер ранга, ; b - ранговый видовой коэффициент, b>0.

Для видового распределения:

 ,                                                                     (2)

где W(х) - число видов с одинаковой частотой встречаемости особей, шт.; А- коэффициент аппроксимации;  a - видовой коэффициент, a > -1; х - аналог численности вида, ; R-параметр, характеризующий размер системы.

При определении параметров (в соответствии с [2] - макропараметров) зависимостей (1,2) встречаются сложности их достоверной оценки при решении некоторых задач. Переход от традиционных методов наименьших квадратов, наименьших модулей или минимакса  к методу максимального правдоподобия /3/ лишь частично снимает неопределенность. На наш взгляд, вероятностная оценка макропараметров  является свойством техноценоза. Это объясняется тем, что распределения, описываемые (1, 2) теоретически отсутствуют. Ввиду дискретности значений W(x), L(r) значения функций представляют собой невозрастающий по видообразующему параметру целочисленный вариационный ряд.  Отчасти это справедливо и для рангового параметрического распределения. Здесь дискретность обусловлена объективными свойствами технических систем: шкалой номинальных параметров электрических аппаратов, особенностями средств учета электроэнергии. Поэтому для системного анализа технических объектов наиболее актуальным является не повышение точности аппроксимации эмпирических распределений функциями, имеющими областью значений множество вещественных чисел, а описание структуры ценоза оптимальным каноническим (нормированным) распределением.

Для техноценозов, неприемлемы модели, основанные на распределении Гаусса, но трудно выделить какую-либо модель для эмпирического получения эталонного распределения частоты встречаемости видов. Предположение, что абстрактные (математика) системы подчиняются тем же законам, что и естественные, дает основание искать идеальное распределение в этой области. Рассматривая число как абстрактный индивидуальный признак, мы отходим от связи распределения с природой системы. Моделирование структуры ценозов простыми числами основано на разложении факториала натурального числа  на простые сомножители:

 ,                                                                           (3)

где  S-суммарное количество простых сомножителей (число видов); pr-простой сомножитель (характеристика вида).

В соответствии с (3) возможно построение различных моделей. Например, можно построить параметрическую модель, считая особью  само натуральное число N, а таблица рангового распределения строится в этом случае объединением в вид чисел, состоящих из одинакового количества  сомножителей. Для проверки адекватности различных моделей техноценозам нами обобщен статистический материал (Новомосковский промышленный узел),  содержащий более 20 выборок и генеральных совокупностей предприятий различных отраслей промышленности (ремонтируемые централизовано и установленные двигатели), охватывающих более сорока пяти тысяч электрических машин, общей повторяемостью по типоразмерам близкой к трём.

Рис.1 Макропараметры канонической модели.

Предпочтительно использование в качестве нормировочной мультипликативной модели, ставящей в соответствие видам модели простых сомножителей. Условие классов эквивалентности имеет вид:

  ,                                             (4)

где П - множество простых чисел.

   .                                                            (5)

 

Простые сомножители получены простым счетом (принцип “решета Эратосфена”). Для каждого числа видов, начиная с S=4 до S=20000 (диапазон соответствует техноценозам), построены таблицы распределений, определены их макропоказатели, рассчитаны коэффициенты, характеризующие видовое разнообразие систем (рис.1) . Результаты расчета, изложенные  в [4], свидетельствуют о корректности нормировки.

Оценка параметров моделей проводилась в соответствии с численным решением:

   ,                                                                   (6)

где

        .                                                                        (7)

 

Ранее [1] отмечалось отсутствие единственной кривой Н-распределения для заданного количества видов S и теоретически идеальной кривой для фиксированного количества особей ценоза. Это объясняется принадлежностью особей и видов к множествам разной мощности (кардинал множеств по Кантору различен). Появление нового элемента (особи) может привести (или не привести) к появлению в системе нового вида. В этих условиях нельзя говорить о наличии жестко детерминированной связи между числом особей и числом видов, так как фиксированному числу видов соответствует некоторый диапазон особей. Например, числу видов S=200 по модели соответствует диапазон особей U от 3558 до 3576.

Длина диапазона числа особей DU (рис.2) не проявляет резкого увеличения с ростом числа видов (особей). Выявить характер распределения случайной величины DU (нулевая гипотеза о распределении Гаусса отвергнута) и закономерность появления, таким образом, нового вида при известном объеме системы U пока не удалось.

Рис.2 Зависимость длины диапазона особей модели от числа видов.

 

Отсутствие единственности модели, отражающее объективные свойства ценологических систем, приводят к множеству моделей (из решения (6,7)) и не дают точного аналога для технической системы. Для получения определенных модельных характеристик необходимо накладывать на решение дополнительные ограничения. К подобным ограничениям могут быть отнесены системные ограничения. Например, когда численность особей определенного ранга (вида) может быть определена экспертно или прогнозироваться линейными (в частности, экстраполяционными) методами.

В общем случае предлагается использование в качестве ограничений устойчивых количественных закономерностей, отражающих внутренние связи структурных единиц систем и проявляющихся в системах различного происхождения [1]. Система является устойчивой, если 40-60% видов образуют “ноеву касту” (уникальные виды), что соответствует 5-10% особей ценоза. В свою очередь 40-60% особей должны принадлежать к “саранчевым кастам” (часто встречающимся видам). Подобные соотношения для техноценоза проиллюстрированы рис.3.

Еще одним ограничением для замкнутых систем является максимум энтропии (видовой коэффициент Шеннона), являющейся мерой видового разнообразия:

 .                                                                          (8)

 

рис.3. Наблюдаемое разнообразие регионального ремонтного потока (Новомосковский промышленный узел).

 

Корректными, на наш взгляд, являются ограничения вида:

 

                                                     (9)

где М – число массовых рангов (значение зависит от конкретного объекта исследования).

 

Предложенная система ограничений приводит к возможности прогнозирования макропараметров “идеальной”  модели (гиперболы), описывающей видовое разнообразие систем ценологического типа. Получены зависимости макропараметров между собой в широком диапазоне значений [4].

Уравнений (9) достаточно для определения параметров (1, 2) без использования методов регрессионного анализа. В частности, в [5] получена с использованием аналогичного подхода математическая модель (решение оптимизационной задачи с ограничениями), которая приводит к структуре ценоза, соответствующей Н-распределению, выявленному для реальных систем различной природы. В этом случае каноническая модель является хорошим нулевым приближением, обеспечивающим сходимость итерационного процесса.

Следует отметить, что, сравнивая модель с реальными статистическими данными можно сделать вывод о большем разнообразии видов техноценозов по сравнению с моделью. Это проявляется в том, что заданному числу видов модели соответствует большее число особей по сравнению с реальными объектами.

По-видимому, здесь можно выделить две причины. Во-первых, модель учитывает все особи системы, а при анализе техноценозов некоторые структурные единицы не учитываются. Ряд особей для реальных систем не может быть учтен, ввиду их объективных свойств. Большое количество и разнообразие особей крупного производственного объединения, определённое с большой погрешностью в силу выполнения 2Т-постулата [1] построения систем данного типа (неадекватность отображения реального состояния системы, размытость понятий и терминов в статистической  отчётности и т.д.). Во-вторых, модель не учитывает эволюцию, при появлении новых видов (новое простое число) остаются в наличии все старые виды. В силу этого предлагается модификация модели, состоящая в направленном исключении определённых видов  (саранчевых каст) из распределения простых сомножителей.

Предлагаются два направления модификации рассматриваемого канонического распределения. Первое заключается в исключении видов как простых чисел при соответствующем преобразовании ряда сомножителей в соответствии с (3). При этом исключаются виды исходной модели начальных рангов (от 1 до dS). В этом случае введена величина, отражающая количество исключаемых видов dS и меняется условие классов эквивалентности. Второе основано на преобразовании условия получения канонического ряда (3) к виду:

     .                                                                              (10)

При этом .

Интерпретация величин dS и L для технических систем окончательно пока не ясна.

Установлена необходимость различных подходов для отдельных структурных единиц технических систем. В частности, присутствие в законе распределения частоты появления вида электрических машин в ремонтной выборке трёх составляющих (логнормальной при , нормальной при , одномодальной при ) определяет структурную сложность математической модели, описывающей это множество. Поэтому представляется целесообразным для решения ряда задач аналогичную декомпозицию исходного множества на ряд подмножеств.

Рассмотрим ряд множеств, элементами которых являются простые сомножители. DN-множеством называется множество, элементами которого являются простые сомножители в разложении факториала натурального числа N. DM-множеством называется множество, являющееся подмножеством DN-множества, элементами которого являются простые числа первых М рангов, рангового распределения DN-множества, отражающие массовые (саранчевые) элементы исходного множества. DP-множеством называется множество, являющееся подмножеством DN-множества, элементами которого являются элементы DN-множества, не входящие в DM-множество. Подобная декомпозиция аналогична разбиению исходной ценологической системы на доминирующий и зависимый ценозы [6].

Рис. 4. Изменение установившегося значения рангового коэффициента множества DM при варьировании параметра dS.

 

Набор полученных эмпирически констант и зависимостей, имеющих характерный вид (рис.1, 4), позволил нам сформулировать ряд гипотез, характеризующих данное распределение.

Гипотеза 1. Ранговый коэффициент видового рангового распределения DN-множества имеет предельное значение, не зависящее от  размера множества.

Гипотеза 2. Ранговый коэффициент видового рангового распределения DМ-множества имеет предельное значение, не зависящее от значения М.

Гипотеза 3. Видовой коэффициент видового распределения и видовой коэффициент общего разнообразия Шеннона (энтропия) DМ-множества не зависит от значения М.

 

Литература.

1.     Кудрин Б.И. Введение в технетику. 2-ое изд.. г.Томск, 1993.- 552с.

2.     Крылов Ю.К., Кудрин Б.И. Целочисленное аппроксимирование ранговых распределений и идентификация техноценозов. - Вып.11. «Ценологические исследования». – М.: Центр системных исследований, 1999.-80с.

3.     Хайтун С.Д. Оценка показателя a выборочного распределения Ципфа. -  Математическое описание ценозов. Ред. и сост. Кудрин Б.И..- Абакан, 1996.-с.64-79.

4.     Исаев А.С. Математические модели дискретных величин. - Математическое описание ценозов. Ред. и сост. Кудрин Б.И..- Абакан, 1996.- с.215-229.

5.     Жилин Б.В. Определение электропотребления предприятий в условиях неполноты информации // Тез. докл. научн.-техн конф. ”Электросбережение, электроснабжение, электрооборудование.”/ Под общ. ред. Кудрина Б.И.- М.: Электрика, 1996 г., докл. №18.

6.     Гнатюк В.И. Моделирование и оптимизация в электроснабжении войск. - Вып.4 «Ценологические исследования». М.: Центр системных исследований, 1997. – 216с.