МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ ВЕЛИЧИН

А.С. Исаев

// Математическое описание ценозов и закономерности технетики.

 Вып. 1 «Ценологические исследования» -

Абакан: Центр системных исследований, 1996. С. 215-229.

 

Для систем, проявляющих ценологические свойства, неприемлемы математические модели, основанные на распределении Гаусса [1,2], но трудно выделить какую-либо одну модель для эмпирического получения "эталонного" распределения частоты встречаемости видов. Предположе­ние, что абстрактные системы (математика) подчиняются тем же зако­нам, что и естественные, даёт основание искать идеальное (каноническое) распределение в этой области. Рассматривая число как абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от другого, мы отходим от связи распределения с природой системы. При этом мы опи­раемся на развившееся из учения пифагорейцев воззрение [2] о примени­мости к техноценозам пифагорейского подхода, что принципы матема­тики (числа) одновременно являются и принципами мира, а числовые отношения (пропорции) - отражениями гармонии самого мира.

В качестве канонического распределения частот встречаемости ви­дов предлагается использовать математические модели, построенные на основе распределении простых чисел: простые числа являются дискрет­ным рядом, во многом аналогичным ряду типоразмеров оборудования при использовании в качестве классификатора выделения вида его часто­ты встречаемости; ряд простых чисел может быть однозначно получен и не имеет верхнего предела (по Евклиду); ряд натуральных чисел априор­но может соответствовать аналогичным системам различного проис­хождения из-за общих принципов построения систем. Возможность мо­делирования Н-распределения конечным множеством натуральных чисел N была показана Б.И.Кудриным [3] при построении из цилиндров пира­миды разнообразия, высота которой соответствует треугольным числам, а в основании лежит круг, площадь которого (при единичной высоте) соотносима ноевой касте (простых чисел).

Было рассмотрено несколько моделей, основанных на распределе­нии простых сомножителей факториала произвольного натурального числа N. Подобное разложение для произвольного натурального числа х является единственным и описывается выражением:

>0

(1)

где i – порядковый номер простого сомножителя (ранг); S – количество простых сомножителей (видов); pi – простое число ранга i (вид) ; m – количество простых сомножителей pi (особей данного вида).

Модель А. Натуральное число раскладывается на простые сомножители в соответствии с (1). При этом особью считается само натуральное число, а таблица рангового распределения строится путём объединения в вид чисел, состоящих из S сомножителей. Например, при r=2 особями данного вида будут числа: 4,6,9,10,14, ...

Модель В. Число раскладывается на сомножители аналогично. Каждому простому числу соответствует ранг по возрастанию, т.е. 2 имеет ранг 1, 3 имеет ранг 2, 5 имеет ранг 3 и т.д. Количество видов приравнивается сумме рангов, а количество особей - произведению номера ранга на количество данных простых сомножителей.

Модель С. В качестве особей рассматриваются простые сомножители pi, (безотносительно исходного натурального числа N!). При этом количество различных простых чисел определит суммарное число видов S. А сумма всех простых сомножителей - число особей U.

Модель B для N=20, 200, 2000 была просчитана в 1981 г. [4] - а все три модели рассмотрены и проанализированы в работе [5], где также поставлен вопрос о континууме и введено понятие алеф-танто. Связь модели с пойнтер-точкой R см. [б].

Все три модели соответствуют основным особенностям распределения видов в реальных системах: они приводят к гиперболическому распределению, хотя и с различными количественными характеристиками Модель С лишена ряда недостатков, присущих моделям А и В. Так модель А, в общем случае, не позволяет получить строгое соответствие между числом особей U и числом видов S. Модель В приводит к резкому увеличению числа особей и видов с ростом заданного числа N, что не соответствует эмпирическим распределениям в реальных системах. Поэтому в качестве ряда, который может быть канонизирован, и предлагается модель С.

Задача определения очередного простого числа, большего известного произвольного натурального числа х по известным простые числам, меньшим х, впервые поставлена Эйлером, который ввел функцию:

,

(2)

где π-функция Эйлера, равная количеству простых чисел, меньших х.

В нашей постановке число видов S равно функции Эйлера π, а х равен натуральному числу N. Факториал натурального числа использу­ется вместо произвольного числа, так как существует ряд предельных теорем, связывающих число N с особями- простыми сомножителями. Например, число саранчёвых особей (число двоек) приближенно равно N. Модель машинно реализована путём непосредственного получения простых чисел, используя разложение составных чисел на простые со­множители в соответствии с (1) и известный метод отсечения множества простых чисел из множества натуральных чисел - решето Эратосфена.

Для числового ряда построены модели в диапазоне от S=4 до S=16300 (с шагом, равным единице). Для каждого заданного числа видов построены зависимости числа особей U от числа видов S и рассчитаны коэффициенты, характеризующие видовое разнообразие системы.

Показатель повторяемости особей :

(3)

Показатели видового богатства по Менхинику:

(4)

Показатель видового богатства по Маргалефу:

(5)

Можно сделать вывод о существовании общих закономерностей для распределения видов по повторяемости в системах различной приро­ды и распределении простых чисел по модели. График зависимости  в логарифмических координатах является прямой линией. Но модель не является линейной ввиду принадлежности множеств S и U к разным видам множеств (по Кантору кардинал множеств различен). Это приводит к закономерным флуктуациям, требующим построения кривых распределения при каждом значении числа видов и невозможности све­дения параметров модели к некоторым средним значениям. Так, напри­мер, при S=100 d=14,98; при S=200 d=17,79; при S=300 d=19,76.

 

Рис.1. Зависимость видового разнообразия от числа видов

Рис.2. Зависимость диапазона числа особей от числа видов

Рис.3. Кривые рангового видового распределения

 

Коэффициенты разнообразия с увеличением числа видов не стре­мятся к установившемуся значению, что отражает отсутствие верхнего предела применимости данной модели. Динамика изменения коэффици­ентов, характеризующих структурное разнообразие элементов системы, отражает опережающее возрастание числа особей по сравнению с возрастанием числа видов.Коэффициенты видового разнообразия по Маргалефу и Менхинику устойчиво растут при увеличении числа видов (зависимости близки к линейным). Подобная закономерность проявляет­ся в системах, изучаемых лингвистикой, информатикой, в техноценозах [2,7].

Принадлежность особей и видов к множествам разной мощности приводит к тому, что отсутствует единственная кривая Н-распределения, Появление нового элемента (особи) в системе может привести (или не привести) к появлению нового вида. В этих условиях нельзя говорить о наличии жестко детерминированной связи между числом особей U и числом видов S, так как фиксированному числу видов соответствует некоторый диапазон особей. Например, числу видов S=200 по модели соответствует диапазон особей U от 3558 до 3576. Эта особенность моде­ли отражает объективные свойства ценозов.

Установлено, что ширина этого диапазона является относительно небольшой (среднее значение порядка DU=20) и не проявляет резкого увеличения с ростом числа видов (следовательно, и числа особей). Выяс­нить характер изменения ширины диапазона DU, связанный с законо­мерностями появлением нового простого числа при известном числе видов, пока не удалось. Нулевая гипотеза о распределении случайной величины DU в соответствии с законом Гаусса по критерию Стьюдента отвергается.

Распределение частоты появления вида как случайной величины относится к устойчивым распределениям негауссового типа, которые характеризуются значительной величиной асимметрии распределения, приводящей к "бесконечно большой" дисперсии. Для характеристики видовой структуры модели может быть применен математический аппа­рат, основанный на законе Ципфа. Нами для рангового видового рас­пределения, получаемого путём упорядочения особей в порядке умень­шения частоты встречаемости, принята зависимость:

(6)

где В - коэффициент аппроксимации; r - ранг; b - ранговый коэффициент (b>0).

Для видового распределения, получаемого путём объединения ви­дов с одинаковым количеством особей в касты, принята зависимость:

,

(7)

где А - коэффициент аппроксимации; х - непрерывный аналог числен­ности вида; a - видовой характеристический коэффициент (a>0).

Сравнивая оценки параметров распределения по модели с реаль­ными статистическими данными техноценозов, можно сделать вывод о том, что реальное разнообразие видов (средняя повторяемость порядка 5 - 7) несколько больше по сравнению с расчётным. Это проявляется в том, что заданному числу видов модели соответствует большее число особей по сравнению с реальным (средняя повторяемость порядка 15).

 

Рис.4. Кривые видового распределении

 

Рис.5. Зависимость установившегося значения рангового

 коэффициента от числа отсекаемых видов

 

Рис. 6. Сравнение реальных и модельных распределении

 

 

Можно выделить две основные причины расхождения. Во-первых, модель описывает идеализированный ценоз, а при анализе статистиче­ского материала некоторая часть информации теряется ввиду неполноты данных или принудительно. Так, например, при анализе установленного электрооборудования на промышленном предприятии двигатели мощ­ностью менее 0.25 кВт в отчетность не входят. Во-вторых, модель являет­ся абсолютно статичной, т.е. не учитывает "отмирание" определенных видов. Это проявляется в том, что при появлении новых видов (новое простое число) остаются в наличии все старые виды. Тем самым в модели не находит отражение борьба видов за ресурс и действие закона инфор­мационного отбора.

Для адекватного описания реальных распределений предлагается замена модели совокупностью моделей с отсутствием одного или нескольких видов (введена величина δS - количество неучитываемых первых по порядку видов) с последующим выбором по определённому критерию модели, наиболее адекватной объекту.

В качестве критерия предлагается использование устойчивых количественных закономерностей, проявляющихся в системах различного происхождения [2]. Система является устойчивой если 40-60% видов образуют "ноеву" касту (являются уникальными видами), что соответ­ствует 5-10% всех особей ценоза. В свою очередь 40-60% особей должны принадлежать к "саранчёвым" кастам (часто встречающимися видам), что соответствует 5-10% всех видов ценоза. Результаты расчётов, позво­ляют сделать вывод, что требуемая видовая структура сохраняется для преобразованной модели, начиная с δS = 5. При меньшем "отсечении" видов саранчёвых каст наблюдается чрезмерный рост численности осо­бей саранчёвых видов (в среднем на уровне 80% от общего числа особей).

При отсечении видов "саранчёвых" каст форма распределения и динамика коэффициентов, характеризующих видовое разнообразие системы, сохраняются. Для рангового видового распределения умень­шается крутизна кривой распределения (ввиду смещения первой точки по кривой распределения). При этом зависимость рангового коэффициента от числа (рис.7) видов является характерной, но при большем видовом разнообразии системы (при увеличении δS) ранговый коэффициент уменьшается.

Для видового распределения уменьшается число видов саранчёвых каст. При этом зависимость видового коэффициента от числа видов (рис.8) практически одинакова для различных моделей, т.е. не зависит от δS.

Считается [1,8], что характеристический параметр видового распределения α. можно получить, используя ранговый коэффициент β (ввиду того, что видовое распределение получается преобразованием рангового). Для большинства техноценозов в этом случае предположительно:

(8)

Динамика изменения видового и рангового коэффициента при изменении  числа видов (рис.7,8) позволяет усомниться в наличии подобной зависимости в общем случае, так как поведение рангового и видового коэффициента различно, и аппроксимация зависимости β = f (α) линейными методами, использующими в качестве критерия минимум дисперсии, даёт неудовлетворительные результаты (в том числе и при аппроксимации нелинейными функциями). Видимо, соотношения между параметрами различных распределений имеют в общем случае более сложную зависимость и характеризуют конкретный ценоз.

Анализ модели показывает, что ранговый коэффициент, начиная с определенного количества видов, является практически постоянной величиной. Это свидетельствует о том, что, начиная с определенного числа видов ценоза (по результатам расчёта

Рис.7 Зависимость видового коэффициента от числа видов.

 

Рис.8 Зависимость рангового коэффициента от числа видов

Рис.9 Зависимость энтропии от числа видов

 

 

с S=35), параметры структуры системы являются постоянными и не изменяются при увеличении числа видов. Это установившееся значение βуст характеризует степень сложности и разнообразия системы.

На рис.5 приведена зависимость установившегося значения рангового коэффициента от числа отсекаемых видов δS. Начиная с определенного значения δS структура модели приобретает такую степень стабильности, что установившееся значение рангового коэффициента изменяется незначительно (или является строго постоянной величиной) при изменении числа отсекаемых видов. Начиная с δS =10 и до δS =200, установившееся значение меняется в узком диапазоне (от 0.24 до 0.18). Это свидетельствует о постоянстве видового состава модели и может применяться при составлении прогнозной модели.

Для оценки или прогноза рангового коэффициента можно пользоваться его средним значением, так как он распределён по нормальному закону. Среднее значение рангового коэффициента близко к βуст, т.к. ранговый коэффициент равен постоянному значению, начиная с относительно небольшого количества видов в системе (S=35).

Исходя из постоянства параметров структуры модели (начиная с δS=10), в качестве модификации исходной модели С предлагается принять модель D, соответствующую постоянному участку характеристики bуст = f(dS) и отвечающую структурным закономерностям в техноценозах.

На рис.6 приведена диаграмма, иллюстрирующая соответствие моделей С и D (δS=15) объекту - установленным электродвигателям НАК "Азот". В целом можно сделать вывод о превышении, по сравнению реальным, количества особей при заданном количестве видов для модели С и о приемлемом соответствии модели D объекту. Критерий Пирсона для рангового и видового распределений и сравнение соответствия числа особей при заданном числе видов позволяют утверждать о приемлемости нулевой гипотезы об одинаковом характере распределения величин для 60% выборок. Следует отметить, что реальные статистические данные предприятий, находящихся в состоянии остановки или спада, распределению по модели не соответствуют. Таким образом, рассматривая данное распределение в качестве модели для техноценозов, можно сделать вывод об удовлетворительном соответствии модели объекту. Количество отсекаемых видов, предположительно, должно увеличиваться при увеличении числа видов системы. Пока получить эту зависимость не удалось.

Следует отметить, что в теории Н-распределения сложился набор определенных констант, полученных в основном эмпирическим путем [1,2]. Наиболее широко встречаются константы 0.18 и 0.23. При этом 0.18 - вторичный ранговый коэффициент распределения по параметру (ранговое распределение по параметру ранговых коэффициентов - непрерывной случайной величины) - постоянная величина для различных объектов. В данном случае идет речь о ранговом видовом распределении, т.е. о распределении дискретных величин. Но единый набор кон­стант позволяет, видимо, утверждать об общих корнях и единых зако­номерностях всех устойчивых негауссовых распределений, об их единой природе.

Ранее доказано [2,7], что в ценологических системах различной природы одним из критериев структурной устойчивости является постоянство или уменьшение энтропии с ростом числа видов в системах. Для данной модели рассчитаны показатель общего разнообразия Шеннона (энтропия) и показатель выровненности (энтропия, приведенная к числу видов).

Показатель общего видового разнообразия Шеннона:

(9)

где Si - число видов в i-той касте.   

Показатель выровненности по Пиелу:

(10)

Характерные зависимости (рис.9, 10) позволяют утверждать, что для модели появление нового вида не приводит к увеличению "беспорядка" в системе, т.к.,  начиная с S=35 (независимо от величины dS), рост числа видов (следовательно, и особей) не приводит к росту энтропии. Это сви­детельствует об устойчивости структуры видового разнообразия модели.

Рис.10 Зависимость коэффициента выровненности от числа особей

Рис.11 Зависимость числа каст от числа видов

 

В модели имеется характерная точка, соответствующая S=6300. В этой точке происходит, независимо от величины dS, изменение характера поведения энтропии, видового коэффициента, зависимости числа каст от числа видов (рис.11), коэффициента повторяемости особей, т.е. основных параметров распределения. Математического обоснования подобных экстремумов не получено.

Предлагается моделировать связи между особями-элементами тех­нической системы. В этом случае в качестве вида должна выступать связь между элементами. В качестве связей по модели выступают простые сомножители каждого натурального числа, меньшего N, которые пред­ставляют собой в этом случае цепочки, аналогичные цепям Вольтерра по схеме «хищник-жертва» [3]. Подтвердить это предположение на примере конкретных промышленных предприятий в настоящий момент не удалось. Причиной этого являются многообразие, слабая обусловленность и  трудоёмкая формализация связей между отдельными элементами, образующими единую техническую систему. В силу этого общее количество связей по модели больше по сравнению с реальным статистическим материалом, хотя и можно утверждать, что подобный подход может быть, в принципе, верным, так как длина связей по модели хорошо отражает основные технологические связи технических систем. Среднее количество особей в одной цепочке порядка 8 и не превышает, как правило, 15. Более "длинные" связи в модели имеются, но они встречаются редко и являются исключениями.

В дальнейшем основное направление работы видится в выработке критерия, позволяющего получить зависимость δS = f (S) и более полной проверке соответствия модели реальным распределениям различного происхождения - на настоящий момент модель проверялась только для технических систем. Для техноценозов можно говорить об удовлетворительной адекватности предлагаемой модели объектам на уровне предприятия, производства и цеха. Предполагается в дальнейшем построение на основе видового распределения простых сомножителей в факториале натурального числа методик для принятия решений при проектировании и реконструкции предприятий и рекомендаций, ведущих к оптимизации видовой структуры производства путём определения оптимальных соотношении между количеством элементов-особей различных видов. Основой для подобной методики является устойчивость параметров видового распределения для модели, использующей разложение на простые сомножители факториала произвольного натурального числа, и реальных систем.

 

Литература

1. Кудрин Б.И., Жилин Б.В., Лагуткин О.Е., Ошурков М.Г. Ценологическое определение параметров электропотребления многономенклатурных производств. г.Тула: Приок. кн. изд-во, 1994.-122с.

2. Кудрин Б.И. Введение в технетику. 2-ое изд. Томск : Изд-во Томск. гос. ун-та, 1993.- 552с.

3. Кудрин Б.И. Распределение электрических машин по повторяемости как некоторая закономерность. - Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 2 - Томск: Изд-во ТГУ, 1974, с. 31-40.

4. Кудрин Б.И. Отбор: энергетический, естественный, информационный, документальный. Общность и специфика. Томск: Изд-во ТГУ, 1981,с.111-187.

5. Кудрин Б.И. Электрика: некоторые теоретические основы. - Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 6 - Томск: Изд-во ТГУ, 1989, с. 5-73.

6. Кудрин Б.И., Якимов А.Е. Моделирование структур арифметическими рядами. - Доклады МОИП. 1983. Общая биология. Эксперимен­тальные исследования структуры и функции биологических систем. - М.:Наука, 1985, с. 47-49.

7. Мандельброт В. Теория информации и психолингвистика. Теория частоты слов // Энергохозяйство за рубежом. -1982. - №4.

8. Яблонский А.И. Математические модели в исследовании науки. -М.:Наука,1986.-352с.

9. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. - М.: Наука, 1976.-286 с.