//Электрика. – 2008. – № 9.– С. 43–48.

 

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РАНГОВОГО АНАЛИЗА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ

О. Е. Лагуткин

Новомосковский институт РХТУ им. Д.И. Менделеева

 

Практика применения рангового анализа при определении параметров электропотребления опирается на ранговое распределение как одну из разновидностей семейства гиперболических распределений. Основополагающими понятиями в теории Н-распределения являются особь и вид. Особь – выделенный, далее неделимый (условно) элемент биологической и технической реальностей; обладает индивидуальными особенностями и функционирует в индивидуальном жизненном цикле. Вид изделия – основная структурная единица в систематике изделий, отличающаяся количественной и качественной характеристиками и изготавливаемая по одной проектно-конструкторской документации. К общим признакам вида относятся: определённая численность, тип организации, способность в процессе воспроизводства качественно сохраняться; дискретность, экологическая, экономическая и географическая определённость, устойчивость, целостность (не различаются в отдельных случаях виды и понятия: типоразмер, модель, артикул, марка, тип, сорт).

Для математического моделирования особей и видов в ценозе применяют гиперболическое распределение, именуемое, обычно, законом Ципфа. Этот подход характерен для различных областей знаний, включая лингвистику, экономику, биологию и др. В математике распределение по убыванию параметра известно как вариационный ряд*. Различают дискретный и интервальный вариационные ряды. Дискретной вариацией признака называется такая, при которой отдельные значения и варианты отличаются на некоторую конечную величину. Вариация называется непрерывной, если отдельные значения признака могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину.

Практика применения рангового анализа позволила изменить понятие распределения Ципфа и вариационного ряда как частных случаев гиперболических Н-распределений. Существуют три разновидности Н-распределений – в ранговой по параметру, ранговидовой и видовой формах. Для дискретных величин (например, установленных электрических двигателей) характерны все три формы, для непрерывных величин (потребление электрической энергии) – только ранговое по параметру.

Покажем индивидуальность всех трёх форм Н-распределения на примере статистических данных по 5000 двигателей 17 цехов химического комбината, (несколько изменив подход и обозначения по сравнению с предыдущими лекциями).

Пусть известны электрические параметры (тип, мощность, количество оборотов) и технологический параметр (назначение). Для каждого из цехов рассчитаны ценологические показатели, сведённые в табл. 1: nособей – количество двигателей в цехе; nвидов – количество видов двигателей с одинаковым значением исследуемого параметра; βр, βрв, βв,– коэффициенты, характеризующие степень крутизны рангового, ранговидового и видового распределений соответственно.

Между тремя видами распределений существует логическая связь, поясняемая на примере выделенного электрического параметра – мощности. Построим ранговое распределение двигателей (рис. 1, а), где особи расположены в порядке убывания мощности. Ранговидовая форма вытекает из предыдущей путём объединения особей с одинаковым значением параметра (рис. 1, б); за вид принимаем двигатель мощностью Р, кВт. Последняя, третья, форма Н-распределения получается путём объединения видов с одинаковым количеством особей на основании ранговидового распределения (рис. 1, в). Следовательно, можно предположить, что существует и математическая зависимость между характеристическими показателями этих распределений. Если данная гипотеза верна, то должна существовать корреляционная связь между коэффициентами, характеризующими степень крутизны трёх гипербол. В табл. 2 приведена матрица коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми параметрами.

                                                                                                а

                                                                                               б

                                                                                                       в

Рис. 1 Ранговое (а), ранговидовое (б) и видовое (в) распределения двигателей по мощности

 

Анализ матрицы показал, что сильная корреляционная связь единична (между количеством видов и количеством особей в распределении двигателей по

1. Характеристические параметры

  

 

 

№ цеха

001

101

110

180

203

204

205

210

212

305

402

403

404

407

410

418

909

По

мощности

1

n (особей)

176

209

242

270

196

405

182

160

153

175

435

229

587

255

268

348

149

2

β(р)

0,86

1,61

1,92

1,91

1,43

1,69

2,07

2,54

1,76

1,37

1,67

1,4

1,51

1,5

0,93

2,27

1,37

3

n (видов)

26

31

34

50

43

60

35

28

40

35

60

37

57

41

38

54

30

4

β(рв)

1,06

1,17

1,22

0,99

0,95

1,14

0,82

1,04

0,92

0,95

1

1,24

1,08

0,95

1,18

1,1

1,14

5

β(в)

0,45

0,59

0,5

0,95

0,83

0,73

0,61

0,59

1

0,6

0,72

0,73

0,58

0,5

0,6

0,72

0,69

По

количеству

оборотов

6

n (особей)

176

209

242

270

196

405

182

160

153

175

435

229

587

255

268

345

149

7

β(р)

0,37

0,34

0,26

0,47

0,37

0,36

0,27

0,24

0,29

0,26

0,43

0,28

0,36

0,32

0,38

0,36

0,38

8

n (видов)

31

39

8

48

9

15

4

4

14

6

11

3

5

31

18

6

4

9

β(рв)

1,1

1,06

2,33

1,06

2,45

2,24

3,13

2,01

1,87

2,66

2,56

1,37

1,81

1,24

1,89

2,19

1,65

10

β(в)

0,62

0,69

1

0,79

0,27

0,23

1

1

0,33

1

0,15

1

1

0,52

0,35

1

1

По

механизму

11

n (видов)

20

14

12

17

49

85

18

11

39

13

23

21

37

31

34

36

16

12

β(рв)

1,56

1,75

1,92

1,82

1

1,02

1,25

1,55

1,06

1,91

1,7

1,41

1,38

1,39

1,29

1,47

1,71

13

β(в)

0,41

0,18

0,07

0,3

0,93

0,9

0,16

1

0,85

0,23

0,25

0,31

0,28

0,47

0,48

0,51

0,29

По

типу

14

n (видов)

59

95

10

86

84

43

16

35

42

22

177

69

75

106

149

36

24

15

β(рв)

0,82

0,67

1,79

0,87

0,71

1,42

1,68

1,02

1

1,58

0,63

0,85

1,29

0,72

0,58

1,41

1,38

16

β(в)

1,41

1,77

0,14

1,27

1,53

0,54

0,29

0,72

0,78

0,55

1,64

1,25

0,68

1,57

1,78

0,54

0,53

 

 

2. Матрица коэффициентов корреляции

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

По

мощности

1

n (особей)

1,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

β(р)

0,03

1,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

n (видов)

0,84

0,17

1,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

β(рв)

0,18

-0,21

-0,06

1,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

β(в)

-0,03

0,22

0,39

-0,25

1,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По

количеству

оборотов

6

β(р)

0,42

-0,30

0,52

0,05

0,34

1,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

n (видов)

-0,08

-0,21

-0,03

-0,03

0,07

0,50

1,00

 

 

 

 

 

 

 

 

8

β(рв)

0,08

0,32

0,22

-0,39

0,02

-0,32

-0,69

1,00

 

 

 

 

 

 

 

9

β(в)

-0,15

0,34

-0,38

0,16

-0,31

-0,44

-0,29

-0,01

1,00

 

 

 

 

 

 

По

механизму

10

n (видов)

0,44

-0,10

0,62

0,02

0,31

0,23

-0,07

0,16

-0,60

1,00

 

 

 

 

 

11

β(рв)

-0,11

0,07

-0,27

0,24

-0,33

0,03

0,21

-0,19

0,50

-0,77

1,00

 

 

 

 

12

β(в)

-0,11

0,20

0,12

-0,17

0,38

-0,07

-0,12

0,06

-0,45

0,60

-0,68

1,00

 

 

 

По

типу

13

n (видов)

0,38

-0,38

0,36

0,06

0,06

0,60

0,38

-0,24

-0,63

0,09

-0,06

-0,04

1,00

 

 

14

β(рв)

0,02

0,39

-0,01

-0,04

-0,16

-0,45

-0,51

0,54

0,59

-0,02

0,17

-0,24

-0,82

1,00

 

15

β(в)

0,00

-0,50

0,01

0,06

0,03

0,49

0,58

-0,51

-0,57

-0,01

-0,07

0,06

0,86

-0,96

1,00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мощности, параметрами ранговидового и видового распределений – по механизму и типу). В целом, гипотеза о математической зависимости рангового по параметру, ранговидового и видового распределений для дискретных величин не подтвердилась, что объясняется отличием рангового распределения по параметру от распределения Ципфа и вариационного ряда.

Первое отличие – выбор объекта исследования. Объектом исследования технических систем является техноценоз (сообщество всех изделий, включающее все популяции: ограниченное в пространстве и времени выделенное единство, характеризующееся слабыми связями и слабыми взаимодействиями элементов-изделий, образующих систему) – система искусственного происхождения, отличающаяся практической счётностью элементов, её образующих, невозможностью их полного адекватного документирования, неопределённостью границ, несопоставимостью времени жизни ценоза и особи, невозможностью выделения однозначной системой показателей.

Электрическое хозяйство промышленного предприятия в полной мере отвечает данному определению. Соответствие объекта исследования ценологическому характеру – главное условие применимости рангового распределения по параметру. При изучении вариационного ряда объект исследования обычно не носит ценологический характер (например, возраст учеников в классе). Закон Ципфа также зачастую применяют для изучения частных случаев. Например, Ципф дал объяснение тому, что на рабочем столе никогда нет порядка, и оправдал беспорядок другим законом: вещи находятся настолько близко от нас, насколько часто мы ими пользуемся.

Для ценологических объектов характерно, что средняя величина не несёт физического смысла, а дисперсия стремится к бесконечности. Для вариационного ряда средняя величина является мерой сравнения двух объектов, т. е. несёт вполне конкретный физический смысл, который представляет собой количественную характеристику качественно однородной совокупности. В конечном счёте это приводит к изучению распределения, соответствующего гауссовому (например, проверка выборки на представительность).

Второе отличие – выбор параметра. К непрерывным параметрам в технике относится электропотребление, практически не имеющее аналога в лингвистике, социологии, экономике, биологии. Электропотребление – регистрируемая величина. Для этого на предприятиях существует система учёта электрических параметров, включая автоматизированные, что позволяет получать достоверные данные в любое время с допустимой погрешностью, ограниченной погрешностью измерительной системы. Отличительной особенностью, например, электропотребления цехов промышленного предприятия является диапазон изменения параметра. Электропотребление самого крупного цеха от самого мелкого может отличаться в 106 раз, удельные расходы электрической энергии по предприятиям одной отрасли промышленности на один и тот же вид продукции – в сотни раз.

Для вариационного ряда примером непрерывной вариации признака служит, например, распределение посевных площадей по урожайности. В случае непрерывного признака варианты объединяют в интервалы, образуя интервальный ряд. Интервальные ряды делятся на равные и неравные (при неудовлетворительном результате применения равных интервалов). Когда и неравные интервалы неприменимы, используют типологический принцип (где количественное изменение признака приводит к появлению нового качества) и специализированные интервалы (совокупность разбивается на однородные группы, отрасли, типы хозяйства и др., и для каждой группы строят свою шкалу интервалов).

Третье отличие – предсказуемый временнóй ряд. Системы ценологического типа обладают структурой как некоторым свойством, определяющим их устойчивость. В данном случае структура предполагает постоянство состава основных системообразующих элементов (наличие постоянной системы отчётности по исследуемому параметру). Выделенные системообразующие элементы позволяют обойти проблему фрактальности – невозможность точно учесть и перечислить все элементы.

Расположенные во времени ранговые коэффициенты образуют упорядоченные ряды. Динамику временных рядов ранговых коэффициентов можно изучать в долгосрочной (более 10 лет), среднесрочной (5–12 лет) и краткосрочной перспективе. Временные ряды ранговых коэффициентов устойчивы во времени, независимо от количества особей-элементов, что говорит об устойчивости структуры электрических показателей при неполноте исходной информации. Каждый вид электрических показателей (электропотребление, удельный расход электрической энергии, мощность и др.) имеет свой временной ряд рангового коэффициента. Это позволяет сопоставлять результаты, полученные при анализе различных временных рядов, для наиболее достоверного прогнозирования изменений, происходящих в электрическом хозяйстве.

Математическую модель временнóго ряда ранговых коэффициентов можно представить в следующем виде:

Y = T + S + I,                                                                                          (1)

где Т – тренд; S – сезонные колебания вокруг тренда; I – аддитивная или случайная составляющая.

Предсказуемость временнóго ряда позволила нам разработать методику прогнозирования параметров электропотребления на основе прогнозного рангового распределения по параметру (по первой точке и ранговому коэффициенту). Распределение Ципфа и вариационные ряды (в отличие от рангового по параметру распределения) применяют для исследования статических систем (лингвистика), а также для систем, где нет необходимости в изучении динамики распределения (распределение учеников в классе по росту).

Четвёртое отличие – физический смысл рангового коэффициента. Сопоставление долговрéменных временных рядов электропотребления и рангового коэффициента для многономенклатурного производства позволило предположить, что изменение величины рангового коэффициента носит не случайный характер, а отражает состояние техноценоза во времени. Развитие ценологической системы характеризуется тремя основными этапами – строительство, развитие и стабильная работа. На этих этапах величина рангового коэффициента изменяется предсказуемо. Величина 1,5<b<1,75  соответствует этапу строительства, 1,75<b< 2,75  -  этапу развития и 2,75<b< 3,05 – этапу стабильной работы. Приведённые величины, естественно, требуют уточнения, связанного с отраслевой принадлежностью. Но очевидно, что этапы развития предприятия* влияют на ранговый коэффициент.

В распределении Ципфа для характеристического показателя α существуют ограничения 0<α<2 (для бесконечно делимых распределений это строго показано Колмогоровым и Гнеденко). Считается, что данные значении отражают стабильность структуры распределения, но не отвечают на вопрос: каков физический смысл величин, присутствующих в вышеназванном диапазоне?

Степень крутизны вариационного ряда носит случайный характер и, зачастую, нет необходимости в объяснении её физического смысла.

Пятое отличие – константа рангового распределения по параметру. При исследовании структуры электропотребления областей России было установлено, что вторичное распределение самих ранговых коэффициентов по годам, вне зависимости от социально-политического и экономического состояния страны, характеризуется величиной b¢=0,18. Следовательно, мы можем говорить о критерии устойчивого развития ценологической системы.

Принцип минимума производства энтропии, сформулированный И. Пригожиным в 1947 г., утверждает: стационарный поток в системе, в которой происходит необратимый процесс, характеризуется тем, что производство энтропии

                                                                                   (2)

имеет минимальное значение

                                                                                      (3)

при данных внешних условиях, препятствующих достижению системой равновесного состояния, которое является абсолютным минимумом, когда Si=0.

Открытая система характеризуется воздействием извне, меняющим нормировку энтропии, в частности так, что энтропия, вычисленная в пределах признаков, заданных с (pij), уменьшается. В терминах теории вероятностей силы Хi определены независимо от признаков и условий, используемых при вычислении энтропии как числа возможных состояний системы. Например, для случая игральной кости, изменения энтропии DS и нормировочной энергии De сила составит

.                                                                                                (4)

Это абстрактная величина, но в условиях когда (pij) – функционал, зависящий от размерных физических переменных, силы Хi при неравновесных процессах могут управлять конечными равновесными состояниями системы*.

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать закон (принцип) сохранения структуры (или закон устойчивого развития) ценозов. Он заключается в следующем: для оптимально функционирующего ценоза вновь появляющиеся виды или особи должны попадать в теоретически предсказанные места на существующей кривой распределения; уничтожение отдельных особей с необходимостью ведёт к появлению других в таком количестве и таких видов, что общая структура сохраняется.

Таким образом, ранговое распределение по параметру является одной из разновидностей гиперболических Н-распределений, имеющей существенные отличия от распределений Ципфа и вариационных рядов при количественном и качественном описании ценологической системы.

В заключение следует обратить внимание:

1) на независимость представления (не статистическую, но математическую невыводимость одной формы Н-распределения из другой) всех трёх форм Н-распределения: ранговой по параметру, характеризуемой βr; ранговидовой βrВ, видовой βВ; 2) на теоретическое отличие рангового Н-анализа от представлений Ципфа–Мандельброта; 3) на практическую направленность исследований, заключающуюся не столько в определении параметров электропотребления и устанавливаемого (ремонтируемого) электрооборудования, сколько в оценке жизненного этапа предприятия в целом.

О. Е. Лагуткин

Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте вариационный ряд как метод исследования и приведите примеры, характеризующиеся средним.

2. Объясните ранговые распределения для дискретных величин на примере электродвигателей.

3. Назовите отличительные особенности ранговидового Н-распределения.

4. Покажите, что видовое Н-распределение наиболее объективно характеризует ценоз.

5. Дайте объяснение матрицы (табл. 2), характеризующейся статистически незначимыми корреляционными парами.

6. Укажите особенности и величину разброса параметров для ценологических объектов.

7. Свяжите предсказуемость временнóго ряда ранговых коэффициентов с энтропийными представлениями


* Пейте Ф. Выборочный метод в переписях и обследованиях. М., 1965.

* Кудрин Б. И. Введение в технетику. Томск: Изд-во ТГУ, 1991. 384 с.; Кудрин Б. И., Жилин Б. В., Лагуткин О. Е., Ошурков М. Г. Ценологическое определение параметров электропотребления многономенклатурных производств. Тула: Приок. кн. изд-во, 1994. 122 с.; Математическое описание ценозов и закономерности технетики. Философия и становление технетики. Вып. 1. Доклады Первой Международной конференции (Новомосковск Тульской обл., 24–26 января 1996 г.) и вып. 2. Философия и становление технетики. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. докт. филос. наук. "Ценологические исследования". – Абакан: Центр системных исследований, 1996. – 452 с.; Философия техники: классическая, постклассическая, постнеклассическая. Словарь. М.: Технетика, 2008.180 с.

* Хазен А.М. Принцип максимума производства энтропии и движущая сила прогрессивной биологической эволюции //Теоретическая биология.-1993.-Том 38 вып. 3. с. 538-539.