//Вестник МЭИ. – 2007. – № 1.– С. 87-93.
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ
ВЫРАВНИВАЮЩЕГО КОНУСА НА ОСНОВЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Г.М. Лебедев
Московский энергетический институт (технический университет)
Мешков Д.М.
Кемеровский технологический институт пищевой промышленности
Приведена методика расчета оптимальных размеров выравнивающего конуса для трехжильных кабелей с металлической оболочкой на напряжение 6-10 кВ для выравнивания электрического поля в концевых муфтах
Анализируя способы регулирования электрических полей, и рассмотрев применяемые в настоящее время конструкции (устройства) для снижения напряженности электромагнитного поля (НЭП) в кабельных муфтах, можно сделать вывод, что наилучшим способом снижения НЭП следует считать применение ВК. Наиболее совершенной на данный момент считается конструкция ВК, разработанная в Московском энергетическом институте (ТУ) совместно с ОАО «НИИпроектэлектромонтаж» [2], для кабелей 6-10 кВ. Геометрические размеры этого ВК были получены в результате серии экспериментов по измерению напряженности в модели концевой части кабеля. Этот конус имеет в качестве образующей прямую линию. Нами предложена конструкция ВК, которая имеет в качестве образующей показательную функцию, что позволяет уменьшить максимальную НЭП в концевой муфте.
Для определения оптимальных параметров ВК была разработана методика расчета, представленная алгоритмом на рис. 1. На первом этапе расчета необходимо задаться геометрическими размерами кабеля, которые определяется по справочным данным. На втором этапе задаются диапазонами ориентировочных геометрических размеров ВК. После этого следует создание геометрических компьютерных моделей для расчета напряженностей в кабельной муфте на основе центрального композиционного ортогонального плана второго порядка. Следующим этапом идет расчет максимальной напряженности в кабельной муфте для каждого варианта. Далее необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии. После отсева незначимых коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента, необходимо провести проверку адекватности уравнения регрессии по критерию Фишера, если уравнение не адекватно, то необходимо вернуться ко второму этапу и расширить диапазон ориентировочных геометрических размеров ВК. И повторить все последующие шаги методики, до проверки адекватности уравнения регрессии. Если уравнение адекватно, то следует определение оптимальных геометрических размеров ВК методом доверительных областей, при которых НЭП - минимальна. После этого необходимо перевести относительные размеры ВК в абсолютные и получить размеры ВК.
Необходимость рассчитывать пространственно-многомерные электромагнитные поля возникает при решении широкого круга задач науки и техники.
Моделирование в программе FEMLAB электрического поля проводилось с использованием уравнения Лапласа. Электрический потенциал φ в любой точке поверхности может быть вычислен с помощью уравнения Лапласа в частных производных:
div(ε grad φ)=0
при заданных граничных условиях:
а) первого рода (условие Дирихле):
где ε – диэлектрическая проницаемость, φ –
потенциал электрического поля, Г – граница поля, 
–функция
распределения потенциала на границе Г;
б) второго рода (условие Неймана):
где n – внешняя нормаль к
границе поля Г, 
–
функция распределения нормальной производной потенциала на границе Г.
Граничные условия Дирихле были приняты на границе раздела сред: проводящий экран – диэлектрик, жила кабеля - диэлектрик. На границе раздела
Рис. 1. Методика определения оптимальных параметров ВК
сред диэлектрик-диэлектрик были приняты нулевые граничные условия Неймана.
На границе раздела сред проводящий
экран - диэлектрик были приняты нулевые граничные условия Дирихле. На границе
раздела жила кабеля – диэлектрик были приняты граничные условия Дирихле с
постоянным потенциалом адекватным воздействию трехфазного переменного
напряжения в момент времени t = p/2, т.е. на жиле А потенциал был равен
14142 В, а на жилах В и С – 7071 В адекватного воздействию трехфазного
переменного напряжения в момент времени t = p/2. На границе
раздела сред диэлектрик - диэлектрик были приняты нулевые граничные условия Неймана.
В настоящее время расчет электрического поля проводится в двухмерном пространстве, который не позволяет получить напряженность поля в любой точке трехмерного пространства, поскольку напряженность состоит из суммы радиальной и продольной составляющих этого поля. Чтобы учесть обе эти составляющие, расчетная геометрия при определении напряженности поля должна быть трехмерной. Кроме того, необходимость моделирования распределения электрического поля в трехмерном пространстве кабельной муфты вызвана расположением жил кабеля в пространстве (под углом 120О), а также влиянием жил кабеля на распределение этого поля. Ранее моделирование поля в трехмерном пространстве трехжильных кабельных разделок проводилось только на сеточных моделях, состоящих из дискретных сопротивлений. Недостатки такого моделирования: низкая точность полученных данных, высокая стоимость модели, большая трудоемкость при ее изготовлении и переналадке при изменении условий эксперимента. Но так как конструкция концевой муфты является очевидно пространственно трехмерной, и электромагнитные поля являются трехмерными по своей природе, то для адекватного описания электромагнитных полей в кабельной арматуре необходима замкнутая трехмерная модель. Представление процессов происходящих в кабельной арматуре в двумерном виде, в котором все явления зависят от переменных x, y является заведомо недостаточным для решения сложных прогнозных задач. Для демонстрации этого факта в [3] рассмотрена задача вычисления электромагнитных полей в системе состоящей из тонкого стержня, зажатого между двумя токоподводами. Показано, что вычисления в предположении двумерного втекания тока дает результат, совершенно не согласующийся с законом сохранения энергии. В силу этого правильное вычисление поперечной компоненты плотности тока в контактной зоне при использовании двумерной модели невозможно даже в случае сплошного металлического якоря, не говоря уже о стержневой токовой арматуре. Вместе с тем определение плотности тока в проводниках является важнейшей задачей при моделировании таких систем.
Рис. 2. Распределение поля потенциалов трехжильного кабеля при
моделировании в трехмерном пространстве
Рис.3. Распределение напряженности в поперечном сечении трехжильного кабеля при моделировании в трехмерном пространстве
Рис. 5. Распределение линий напряженности электрического поля в трехжильном кабеле при воздействии переменного напряжения в
момент времени t = p /2
Результаты моделирования электрического поля в трехмерном пространстве представлены на рисунках 2-5. Граничные условия на участках раздела
сред были приняты такими же, как и на аналогичных участках в случае моделирования одножильного кабеля. Полученная картина распределения поля напряженностей (рис. 3,4) позволяет выявить слабые места в кабельных муфтах. Наибольшая концентрация силовых линий поля находится на срезе оболочки (экрана), чуть меньше напряженность поля в месте изгиба жил. Из-за локальных концентраций напряженности в этих местах может наступить пробой изоляции кабеля, что подтверждается статистическими данными о причинах электрического пробоя в шейке кабельной муфты. Исходя из полученного распределения электрического поля в трехжильной кабельной муфте, видно, что оно требует улучшения. Задачу выравнивания электрического поля трехжильного кабеля, как и однофазного, можно решить с помощью ВК.
Для проверки адекватности результатов моделирования экспериментальным данным была создана математическая модель, соответствующая геометрии экспериментальной модели. В [2] описана геометрия и характеристики модели: кабель АСШВ 3х240 на напряжение 10 кВ; ВК со следующими параметрами: угол раскрытия – 900, допустимое расстояние сгиба жил от края оболочки – 35 мм, радиус выравнивающего конуса – 5 мм. Рассчитанное значение НЭП составило 12693 в/см, измеренное – 13000 В/см, разница составляет 2,4 %, что позволяет сделать вывод об адекватности расчета.
На рисунке 6 показаны
размеры ВК (длина конуса Х1, основание степени образующей конуса Х2,
радиус скругления конуса Х3, расстояние от конуса до изгиба жил
кабеля Х4). Функция, описывающая форму образующей конуса (f =
), была выбрана по соображениям,
изложенным в [4].
Рис. 6. Часть муфты трехжильного кабеля с использованием
выравнивающего конуса
Для определения оптимальной конструкции ВК, вначале необходимо получить уравнение регрессии, адекватно описывающее влияние геометрических размеров на распределение электрического поля внутри муфты. Для определения формы и коэффициентов уравнения регрессии, использовался метод планирования математического эксперимента.
Поскольку целью данного исследования был анализ параметрической чувствительности напряженности от геометрических размеров ВК, то, в качестве плана эксперимента, был выбран ортогональный план второго порядка, обеспечивающий равенство нулю всех ковариаций между коэффициентами в уравнении регрессии и позволяющий выбрать один расчет в центре плана.
Координаты центра плана, интервалы варьирования и уровни исследования приведены в табл. 1
Таблица 1
Координаты центра плана, интервалы варьирования и уровни исследования
|
Уровень исследования |
Длина конуса Х1, мм |
Основание степени Х2, мм |
Радиус скругления конуса Х3, мм |
Расстояние от конуса до изгиба жил кабеля Х4, мм |
|
-α |
35 |
1 |
2 |
5 |
|
-1 |
40 |
1,01 |
2,5 |
10 |
|
0 |
52,5 |
1,03 |
4 |
22,5 |
|
+1 |
65 |
1,05 |
5,5 |
35 |
|
+α |
70 |
1,06 |
6 |
40 |
|
ΔZ, мм |
12,5 |
0,02 |
1,5 |
12,5 |
Значимость коэффициентов уравнений регрессии оценена по критерию Стьюдента. После отсева незначимых коэффициентов уравнение регрессии имеет вид:
(1)
Так как в расчете отсутствуют параллельные опыты, то критерий Фишера примет вид:
,
где 
- дисперсия относительно
среднего 
; 
- дисперсия адекватности; где 
- число степеней свободы дисперсии
адекватности, 
; l
- число значимых коэффициентов; 
- напряженность, рассчитанная
по уравнению регрессии; 
- среднее значения напряженности по результатам
моделирования.
Модель
считают адекватной, если 
где 
В этом случае
показывает, во сколько раз
уменьшается разброс экспериментальных значений относительно полученного
уравнения по сравнению с разбросом относительно среднего.
Полученные в расчете данные качественно и количественно согласуются с экспериментальными результатами, приведенными в [2].
В качестве примера на рис. 7, 8 приведены характерные зависимости напряженности электрического поля от длины конуса и радиуса скругления конуса, а также от основания степени образующей конуса и радиуса скругления конуса. Рисунки приведены для факторов в кодированном виде (в относительных единицах) для центра плана. Из полученных поверхностей следует, что зависимость напряженности от геометрических размеров конуса, носит экстремальный характер, и что напряженность обладает высокой параметрической чувствительностью от длины конуса, основания степени образующей конуса, радиуса скругления конуса и низкой чувствительностью расстояния от конуса до изгиба жил кабеля.
Рис. 7. Зависимость напряженности от длины конуса и
радиуса скругления конуса
Адекватность расчетов была подтверждена сравнением измеренной напряженности, приведенной в [2], и численного расчета напряженности для разделки, смоделированной по тем же параметрам. На рис.9 приведены зависимости напряженности от координаты вдоль внутренней поверхности оболочки и поверхности конуса; отсчет координат принят от плоскости сопряжения поверхностей оболочки и конуса.
Рис. 8. Зависимость напряженности от основания степени
образующей конуса и радиуса скругления конуса
На основе проведенной формализации
проблему отыскания наиболее оптимальной конструкции можно сформулировать в виде
следующей математической задачи [1]: найти вектор - геометрические размеры 
, для функции Е(X) удовлетворяющие системе ограничений:
,
где 
для
всех j = 1, ... , 4 и доставляющей целевой функции E(X) минимальное значение; bj - максимально допустимый размер j-ой детали (длина, степень основания,
радиус скругления конуса и расстояние до сгиба жил); 
- относительные
коэффициенты, показывающие размеры j-ой детали; 
-
абсолютный геометрический размер j-ой детали; Е(x)
– напряженность электрического поля в кабельной муфте.
Нахождение оптимальных параметров ВК проводилось в программе
Рис. 9. Зависимость напряженности от координаты вдоль внутренней
поверхности оболочки и поверхности конуса.
1 – измеренная напряженность; 2 – рассчитанная напряженность
MATLAB, позволяющей решать оптимизационные задачи большой сложности на ПЭВМ посредством использования оптимизационных функций, решающих оптимизационные задачи различными градиентными методами [5].
В результате решения задачи оптимизации методом нелинейного программирования получено, что в изученном диапазоне изменения факторов наименьшая напряженность достигается при размерах ВК, приведенных в табл. 2.
Результаты оптимизации конструкции ВК Таблица 2
|
|
Длина конуса Х1 |
Основание степени Х2 |
Радиус скругления конуса Х3 |
Расстояние от конуса до изгиба жил кабеля Х4 |
Общая длина конуса |
|
Размеры деталей в кодированном виде |
0,184 |
0,732 |
0,159 |
-0,023 |
- |
|
Размеры деталей в натуральном виде, мм |
55,000 |
1,048 |
4,200 |
22,000 |
59,2 |
При данных размерах ВК максимальная напряженность составила 2266 В/мм, что ниже напряженности без ВК, равной 3817 В/мм, (что составляет разницу в 40,6 %) и меньше чем в муфте, смоделированной по размерам, приведенным в [2], на 7 %.
По результатам расчетов были проведены эксперименты. Эксперименты проводились следующим образом: на 5 коротких отрезках кабеля ААБ 3х240, были смонтированы кабельные муфты, с одной стороны типа КВЭ10, а с другой стороны с применением ВК, где в качестве изоляции, была использована эпоксидная смола. Испытания заделок на электрическую прочность производились постоянным и переменным напряжением с помощью установки АИИ-70. Испытательное напряжение плавно поднималось от 0 до пробивного напряжения или до предельного значения (70 кВ). Если при предельном значении пробой не возникал, то кабель выдерживался под напряжением до 30 мин. В результате испытаний были пробиты четыре муфты КВЭ10, а муфты с ВК выдержали испытание.
1. Впервые было проведено численное моделирование муфты трехфазного кабеля в трехмерном пространстве, которое выявило значительную неравномерность распределения напряженности в месте среза металлической оболочки кабеля. Моделирование поля в трехмерном пространстве более адекватно отражает реальное распределение этого поля, чем моделирование в двухмерном пространстве.
2. На основе трехмерного моделирования электромагнитного поля для выравнивания неравномерностей этого поля в месте среза оболочки кабеля предложено использование ВК.
3. Моделирование трехмерного поля в концевой муфте аналогично моделированию поля в соединительной муфте, так как конструкцию соединительной муфты можно представить двумя концевыми муфтами.
4. Оптимальные размеры ВК были получены на основе методов оптимального планирования экспериментов и нелинейного программирования.
5. Проведенные эксперименты показали высокую надежность кабельных муфт с использованием ВК.
Литература
1. Базара М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы: пер. с англ. / М. Базара, К. Шетти. – М.: Мир, 1982. 583 с.
2. Берман В.И. Измерение распределений напряженности электрического поля в кабельной муфте / В.И. Берман, Е.М. Феськов, В.М. Юркевич // Электротехника. – 1998. – № 5. – С. 25-29
3. Галанин М.П. Численное моделирование пространственно трехмерных явлений при электромагнитном ускорении проводящих макротел / М.П. Галанин, А.П. Лотоцкий, Ю.П. Попов, С.С. Храмцовский // Математическое моделирование. – 1999. – Т. 11. – N 8. – С.3-22.
4. Лебедев Г.М. Моделирование электрического поля в кабельной заделке 6–10 кВ / Г.М. Лебедев, Д.М. Мешков // Технология и техника пищевых производств. – Кемерово, 2004. – С. 234–238..
5. Потемкин В.Г. Инструментальные средства MATLAB 5.x. / В.Г. Потемкин. – М.: Диалог-МИФИ, 2000. – 336 с..