Кудрин Б.И., Якимов А.Е., Фуфаев В.В. и др.

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ТИПА ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЦЕНОЗ

Моск. энерг. ин-т. Деп. в ИНФОРМЭНЕРГО 25.11.85. № 2002-эн. Фрагмент.

 

 

 

Пусть видовое распределение множества электрооборудования, образующего электрическое хозяйство предприятия, описывается обобщающими характеристиками S, U, K(i), W(1), N0. На рис. 1 приведено видовое распределение, дискретные значения которого даны в абсолютных единицах.

Рис. 1. Модель Н-распределения

 

В качестве основы для построения модели выбрано уравнение (1) в форме:

 ,                                                                     (1)

 

которое хорошо аппроксимирует ряд на отрезке х Î [1, R1], где R1 = [R] - целая часть числа R. Точка R, в которой W(R) = 1, является особой пойнтер-точкой, выбранной в дальнейшем в качестве параметра модели, отражающего размер системного пространства. Слева от нее находятся касты с численностью вида i < R, в общем случае неоднородные, которые образованы многими видами, справа - касты i > R - однородные, такие касты представлены одним видом. В эмпирических распределениях для i > R значения W(i) = 1 или W(i) = 0, а зависимость (1)  W (i > R) < 1.

Если взять интеграл от бесконечности до х и уменьшить х, то в какой-то точке, обозначенной j = 1 (рис. 1), интеграл станет равным единице, появился вид. Целочисленное значение i = [x] будет означать количество элементов в образовавшейся касте. Аналогично образуются другие однородные касты в интервале j = 1, 2, ... R.

Для использования в настоящей работе приняты модели описания статики Н-распределения, выведенные в [151, 152], которые и излагаются в настоящем разделе.

Для описания однородных каст используется неравенство

            ,                                   (2)

 

справедливое при N(j) = [Z(j)], где

 

                                ,                                                             (3)

 

 - целые числа.

 

                                 ,                                                             (4)

 

то есть число однородных каст R2 = [R / a].  j - номер однородной касты, по аналогии i < R - номером неоднородной касты. Количество элементов однородной касты как функция N(j) определяется из выражения:

 

 .                                                                                (5)

 

Таким образом, на отрезке х Î [1, R] эмпирические распределения можно описывать выражением:

 

W (i) = [ W (i) ] ,                                                                                                                    (6)

 

а на полуинтервале x Î [ R, ¥ ) выражением:

 

N (j) = [ Z (j) ] .                                                                                                                      (7)

 

Тогда расчетное число элементов множества

 

   ,                                        (8)

 

число видов исследуемого семейства

 

 .                                    (9)

 

Число каст множества К = R1 + R2.

В реальных видовых распределениях часто отсутствуют самые многочисленные виды и применение (5) дает несколько завышенный результат по сравнению с эмпирическими значениями. Мандельброт ввел константу С, которая означает первые С усеченных однородных каст  . Учитывая, что изучающийся во многих областях закон Ципфа (ранговое распределение (1)) это есть (5) с a = 1, где j - ранг вида, для повышения точности моделирования предложено, независимо от значения параметра a, описывать однородные касты ненулевых значений i = N(j) = [Z(j)] функцией

 

                                  ,                                                                                     (10)

 

где j = [x] - целые числа обобщенного аргумента х Î [1, R].

В моделях, основанных на относительных частотах, как уже отмечалось, теряет смысл значение аргумента i = R, i > R, при котором функция     W (i ³ R) = 1. Модель Н-распределения снимает этот недостаток. Рассматривая устойчивые распределения в целом как обобщение предельных свойств нормального закона, можно предположить, что Н-распределение, совпадающее по форме с асимптотикой устойчивых негауссовых распределений, играет в рассматриваемой области практически ту же универсальную роль, что и закон Гаусса в стохастических процессах с конечной дисперсией.

Основными параметрами Н-распределения являются R и a, которые оцениваются по следующим упрощенным правилам [118].

Обозначим через K(i) сквозную нумерацию каст в точках i, для которых W(i) > 0; всего K = K(N0); ; . Касты K(i) < i1 - неоднородные; касты i1 - K(N0) - однородные (число каст можно уточнить ). W(i3+1)= 0, , (i3 + 1) - число натурального ряда, показывающее минимальную численность вида, которая в распределении отсутствует, но в распределении есть виды с большей численностью. Можно сказать, что в точке (i3 + 1) появляется «первый» нуль W(i), а в точке i4 - «первая» единица W(i), то есть .

Число каст K распределения служит приближенной оценкой значения параметра R. Для уточнения значения параметра R выделяется диапазон, внутри которого ведется его поиск: R2 ³ W(1) и R2 ³ N0. Тогда нижняя граница вероятностного диапазона изменения R эмпирических характеристик:

 

.                                             (11)

 

Верхняя граница определяется соотношениями:

 

;     .                                            (12)

 

Первое равенство учитывает совпадение по численности однородных каст, которое приводит к значениям W(i) = 2 при i > R (по определению R, для i > i5 должно быть W(1) = 1). То есть:

 

R £ i6 = min (R6, i6) .                                                                                       (13)

 

В обозначенном диапазоне [i5, i6] параметр R определяется решением экстремальной задачи - минимизацией остатка незаполненного объема однородными кастами, для которых i ³ i6 (именно эти касты являются однородными):

 

 ,                                                                (14)

 

где числитель второго слагаемого есть объем, занимаемый элементами однородной касты. Связь между i и j для этих каст j = [R02 / i], где R0 Î [i5, i6] изменяется с некоторым шагом (D = 0, 1) в процессе поиска R. Если , то по (14) находится более глубокий минимум. Эмпирически найдено, что для поиска экстремума число однородных каст должно быть не менее трех. Если однородных каст в распределении меньше трех, то принимается R = i5.

Для определения параметра a используется ряд W(i) при i < R. Распределения обрабатывались с помощью алгоритма

 

                                                          (15)

 

методом наименьших квадратов в целочисленных точках  и алгоритмом

 

,                                                                                 (16)

 

где значения a и W0, соответствующие минимуму разности расчетного и эмпирического значений S, принимались за искомые (а также при совпадении расчетных и эмпирических обобщающих характеристик W(1), S, U или W(1), S, K). Лучшие результаты показал алгоритм (16).

Если a = 0, то по эмпирическому распределению W(i) должно выполняться равенство:

 

.                                                                (17)

 

Для a  = 1

.                                                                    (18)

 

Следовательно, для параметра a Î [0, 1] параметр R имеет небольшие колебания i8 £ R £ i7. Это состояние распределения названо “нормой”.

В состоянии норма для определения a решается экстремальная задача

 

,                                                          (19)

 

где n(i) = R1-a ia - объем элемента неоднородной касты, числитель второго слагаемого обуславливает объем, занимаемый элементами неоднородной касты. Изменяя a с некоторым шагом в диапазоне [0, 1], определяется значение, приводящее к минимуму квадратов остатков. Аппроксимация ведется применительно к объему, дискретность значений W(i) при этом не рассматривается.

Результаты расчетов эмпирических  распределений охватывают изменения R = 2 ¸ 540. Характеристический показатель степени изменялся в пределах a = 0 ¸ 2. Как правило, самые многочисленные саранчевые виды в распределении отсутствовали; наблюдалось завышенное отношение эмпирического значения N0 к расчетному (медиана интегрального распределения этого отношения 1,5).

Анализ статистического материала показал, что параметр a, являясь системным, характеризует разнообразие видов изделий выделенного семейства и имеет следующий физический смысл: отражает некоторое, объективно сложившееся оптимальное (компромиссное) соотношение между разнообразием изделий с различными техническими характеристиками, отвечающими, с одной стороны, разнообразным требованиям технологии, и, с другой стороны, требованиям серийности выпускаемого, стандартизации и унификации изделий, ресурсным ограничениям.

Основываясь на важнейшем свойстве экономического критерия оптимизации - его пологости в зоне минимума затрат [52, 164, 173, 183], можно предположить, что варианты, получаемые в результате формирования структуры в    статистических границах, определяемых состоянием распределения норма - aÎ[0, 1], являются равнооптимальными. Технически разные решения в этой зоне равноэкономичны (то есть равнозначны по технологическим и энергетическим характеристикам с точки зрения формирования системы в целом) и должны определяться по дополнительным критериям. В качестве такого критерия предлагается минимум затрат на электроремонт, который в настоящее время при формировании любого техноценоза (цеха, предприятия, отрасли) не учитывается. При учете же состояния структуры в границах a Î [0, 1] будут неравнооптимальными, но технологически равнозначными.

Существуют и аномальные состояния, которые проявляются в двух случаях: 1) R > i7, R =, a £ 0 - резкое увеличение эффекта концентрации - саранчевая каста становится настолько многочисленной, что имеет место противоречие с (17) - появляется «модный» вид; 2) R < i8, R= , a ³ 1 - увеличение эффекта рассеяния, велико число видов изделий, которые встречаются в исследуемой системе ровно один раз, то есть возникает противоречие с (18) - ноева каста недопустимо велика.

Состояние распределений при наличии эффекта концентрации практически означает существование возможности резко поднять эффективность построения электрического хозяйства предприятия за счет снижения эксплуатационных затрат.

Анализ множества эксплуатируемого электрооборудования предприятий Саянского территориально-производственного комплекса выявил существование в ряде случаев Н-распределений эксплуатируемых электрических двигателей с ярко выраженным эффектом концентрации. Проявление эффекта связано с наличием оборудования иностранных фирм, в совокупности которых очень мало видов, представленных одним электродвигателем, выборки характеризуются высокой повторяемостью. Электрические двигатели различных фирм оказались невзаимозаменяемыми, нередко изготовленными специально для конкретного технологического оборудования. В результате распределение совокупности электрических двигателей в целом для нескольких фирм характеризуется уже состоянием норма, а для распределений ремонтных выборок наблюдается эффект рассеяния. Эффект рассеяния присущ, в основном, выборкам ремонтируемого электрооборудования. Так, на Новосибирском металлургическом заводе среди ремонтируемых электрических двигателей из 201распределения 24 оказались аномальными. По одному разу встречается 50-60 % видов. Это самый неэкономичный случай для электроремонтного производства. Индивидуальность установленного и ремонтируемого электрооборудования резко снижает производительность труда и повышает затраты на ремонт и обслуживание.

Таким образом, модель Н-распределения снимает качественные недостатки частотной формы и позволяет использовать ее для дальнейших исследований.