МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ УСТАНОВЛЕННОГО ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Кудрин Б.И., Якимов А.Е., Фуфаев В.В.
// Сб. науч. Труд № 125. М.: Моск. Энерг. Ин-т, 1987. С. 24-29.
Поток разнообразного электрооборудования (ЭО), поступающего на промышленное предприятие, формируется под действием двух альтернативных тенденций. Практически можно считать, что условия эксплуатации и производственные функции любой пары изделий родственного ЭО, установленного на промышленном предприятии, всегда имеют различия. Это способствует увеличению разнообразия типоразмеров ЭО.
Желание эксплуатационных и ремонтных служб иметь однородное ЭО снижает разнообразие типоразмеров. Эти тенденции выражаются в двух явлениях: «рассеяния» семейства ЭО по разным типоразмерам и противоположного ему явления «концентрации» в одном типоразмере. Между этими двумя альтернативными формами существуют переходные, все вместе которые образуют Н-распределение [1], характерное для электрических ценозов.
Эмпирические Н-распределения (распределения установленного ЭО на промышленном предприятии; выборки его, попадающие в электроремонтное производство) в большей или меньшей степени страдают недостаточной достоверностью, определяющейся качеством учета типоразмеров, малочисленны. Для исследования механизма образования Н-распределения было предложено [2] каноническое разложение целого положительного числа a=n! на простые сомножители
|
(1) |
где pk-1<pk –
простые числа; p1=2,
p2=3,
…, . Всего видов простых чисел s=p(n), ps – наибольшее простое число. Показатели степени
определяют число
простых сомножителей pk разложения
чисел натурального ряда от 2 до n. Распределение
есть ранговое
распределение
–
ранг числа
.
Видовая форма распределения
удовлетворяет аксиомам Н-распределения
[1]. Каноническое разложение (1) доступно любому исследователю как инструмент
для изучения свойств Н-распределения, поскольку его объектами являются простые
сомножители. Используем его для оптимизации соотношения между количеством
установленного ЭО на промышленном предприятии и количеством его типоразмеров.
Размер системного пространства для
канонического разложения (1) определяется как , объем этажа строго равен общему
количеству чисел натурального ряда, подлежащих разбиению на простые
сомножители. Огибающая распределения для неоднородных каст описывается
зависимостью для непрерывного аналога
|
(2) |
где - численность популяции; для однородных
каст
|
(3) |
где - объем элемента однородной касты.
Для канонического разложения (1) дискретный аналог
аргумента x j=pk – 1, где - простые числа. Доказана
теорема о степени заполнения объема этажа, заселенного элементами однородной
касты (существует количественный критерий оценивания величины (3) при переходе
к дискретным значениям). Аксиома 4 из [1] определяет огибающую распределения
видов (2). Рассмотрим переход от огибающей распределения собственно к
распределению. Представим его в виде непрерывного аналога.
|
(4) |
где ,
.
Все эмпирические распределения дискретны. В
каноническом разложении по одному разу встречаются сомножители pk, удовлетворяющие неравенству , их всего
; по два
, их всего
; встречаются i
раз сомножители
,
.
Распределение W(i) –
дискретный аналог распределения (4). Дискретный и непрерывный аналоги можно
связать отношением
|
(5) |
где i=N(j) –
численность популяции; j – целочисленные значения; N(1) – численность самой многочисленной популяции; j
– ранговый номер вида. Нижний предел интегрирования в (5) корректней выбрать по
Z(x) из (3),
где i=N(j)=[Z(j)] – целая часть числа Z(j); j –
площадь под кривой .
Параметр
определяет
«местоположение» популяции на оси абсцисс (значение N(j)). Если
, то N(j)=Z(j), в общем случае для аргумента х функции Z(x) можно записать
, где j=[x]
– целая часть числа х.
|
(6) |
Что позволяет получить зависимость , где
,
. Принимается площадь равной
, значение i=1,5
можно найти из приближенного
равенства этой площади и площади трапеции с высотой, равной 1, и средней линией
трапеции длиной W(1). На самом деле
выпукла вниз и по данным таблицы i=1,42 (из
равенства
).
В таблице: u – число элементов системы; u/s
– повторяемость вида (средняя численность популяции). Значения ρ, min
ρ, max ρ, α,
даны в тысячных долях.
Таким образом, (4) связывает численность однородных и неоднородных каст, в то время как огибающие (2) и (3) у них отличны друг от друга.
Модель (2) двухпараметрическая. В (4) приведено три
параметра. Получим теоретическую зависимость α=α(R,ρ). По данным таблицы, примерное эмпирическое равенство α≈W(1)/s
выполняется в большом динамическом диапазоне изменения R.
Показатель степени ρ отличается устойчивостью, в таблице приведены
его значения наряду с оценками min ρ и max ρ,
получаемыми из (5) путем перебора значений i=N(j) для , где k –
последний номер в сквозной нумерации каст.
Таким образом, аксиомы Н-распределения дают
различающиеся зависимости (2) и (3) для огибающей распределения. Собственно
Н-распределение (4) в записи применимо для всей области существования
. Для
двухпараметрического описания
необходимо теоретически определить
зависимость
.
Эмпирические оценки параметров
и ρ получены для
канонического разложения и приведены в таблице.
Для оптимизации соотношения между количеством установленного ЭО и количеством его типоразмеров в таблице приведены обобщающие характеристики Н-распределения, генерируемого из канонического разложения (1).
Модель распределения простых сомножителей в разложении чисел натурального ряда может быть использована для оценки оптимальности построения структуры множества установленного ЭО с точки зрения затрат на электроремонт. Примем в качестве рабочей гипотезы, что каноническое разложение порождает оптимальное Н-распределение.
Суммарная трудоемкость электроремонта, например, электрических двигателей, зависит от структуры:
|
(7) |
где Тср – трудоемкость
обслуживания электрического двигателя средней мощности с учетом процентного
содержания электрических двигателей различной категории сложности,; β –
коэффициент, характеризующий интенсивность технологического процесса ремонта,
т.е. характеризующий снижение трудоемкости каждого ремонтируемого последующего
одинакового электрического двигателя. Экспертно определено, что для
электроремонтных цехов промышленных предприятий
.
На основе обобщенных характеристик Н-распределения
канонического разложения (таблица) может быть построена для заданного числа
элементов ценоза u оптимальная структура любого эмпирического
распределения ремонтируемого и установленного ЭО и оценена суммарная
трудоемкость обслуживания . Разность
даст трудоемкость виртуальной касты,
которая и определяет отклонение от оптимальной трудоемкости обслуживания
элементов ценоза. Изменяя структуру и соответственно
, можно получить количественную
оценку эффекта от мероприятий по унификации установленного ЭО (номограммы для
расчетов) [3].
Распределение простых сомножителей в разложении числа n! Позволяет применить модель для сравнения двух ценозов
различного объема по отклонению от оптимальной структуры в смысле эффективности
электроремонта. По (7) рассчитывается суммарная трудоемкость обслуживания
элементов структуры первого ценоза по u1 и n1 определяется его канонический аналог Н-распределения и
оценивается относительная трудоемкость обслуживания (электроремонта)
виртуальной касты ,
где n1 из
(1) – последнее число натурального ряда. То же делается для второго ценоза.
Уменьшение относительной трудоемкости виртуальной касты ведет к снижению затрат
на электроремонт, повышению производительности труда электроремонтного
персонала. Последнее определяется резервом, скрытым в структуре множества
установленного ЭО.
Обобщающие характеристики Н-распределения канонического разложения
Число n |
R |
s |
u |
W(1) |
N(1) |
k |
ρ |
min ρ |
max ρ |
α |
W0 |
W1/s |
u/s |
101 |
10 |
26 |
240 |
11 |
97 |
11 |
793 |
723 |
863 |
301 |
22 |
423 |
9,2 |
401 |
20 |
79 |
1086 |
33 |
397 |
21 |
780 |
743 |
846 |
372 |
40 |
418 |
13,7 |
901 |
30 |
154 |
2578 |
67 |
896 |
31 |
823 |
757 |
842 |
422 |
129 |
435 |
16,7 |
1601 |
40 |
252 |
4728 |
113 |
1597 |
39 |
858 |
766 |
858 |
457 |
212 |
448 |
18,8 |
2501 |
50 |
367 |
7551 |
163 |
2495 |
47 |
847 |
771 |
850 |
466 |
309 |
444 |
20,6 |
3601 |
60 |
503 |
11054 |
225 |
3596 |
57 |
855 |
776 |
857 |
481 |
424 |
447 |
22,0 |
4901 |
70 |
654 |
15247 |
291 |
4895 |
63 |
849 |
778 |
856 |
487 |
551 |
445 |
23,3 |
6401 |
80 |
834 |
20127 |
382 |
6397 |
70 |
883 |
783 |
883 |
506 |
705 |
458 |
24,1 |
8101 |
90 |
1019 |
25705 |
461 |
8092 |
82 |
868 |
785 |
868 |
508 |
862 |
452 |
25,2 |
10001 |
100 |
1229 |
31987 |
560 |
9995 |
87 |
877 |
787 |
877 |
516 |
1040 |
456 |
26,0 |
12101 |
110 |
1448 |
38970 |
659 |
12093 |
97 |
875 |
789 |
875 |
520 |
1226 |
455 |
26,9 |
14401 |
120 |
1687 |
46666 |
768 |
14396 |
105 |
876 |
791 |
876 |
542 |
1430 |
455 |
27,7 |
16901 |
130 |
1949 |
55070 |
862 |
16897 |
113 |
882 |
792 |
882 |
530 |
1654 |
458 |
28,3 |
19601 |
140 |
2223 |
64177 |
1015 |
19595 |
121 |
879 |
794 |
882 |
533 |
1887 |
457 |
28,9 |
22501 |
150 |
2516 |
74008 |
1157 |
22491 |
128 |
888 |
796 |
888 |
593 |
2138 |
460 |
29,4 |
25601 |
160 |
2819 |
84556 |
1293 |
25597 |
140 |
885 |
797 |
887 |
541 |
2396 |
459 |
30,0 |
28901 |
170 |
3146 |
95818 |
1451 |
28893 |
144 |
892 |
798 |
892 |
546 |
2677 |
461 |
30,5 |
32401 |
180 |
3477 |
107805 |
1594 |
32392 |
154 |
884 |
799 |
886 |
546 |
2958 |
458 |
31,0 |
36101 |
190 |
3834 |
120515 |
1765 |
36095 |
160 |
889 |
800 |
891 |
550 |
3266 |
460 |
31,4 |
40001 |
200 |
4203 |
133947 |
1941 |
39995 |
167 |
893 |
801 |
893 |
553 |
3580 |
462 |
31,9 |
Литература
1. Кудрин Б.И. Якимов А.Е. Моделирование структуры множества изделий образующих электрические ценозы // Межвуз. сб. тр. №37. М.: Моск. энерг. Ин-т. 1984. С. 34-39.
2. Кудрин Б.И. Якимов А.Е. Моделирование структуры ценозов арифметическими рядами // Экспериментальные исследования структуры и функции биологических систем. Докл. Моск. Об-ва испытателей природы. 1983. Общая биология. М.: Наука. 1985. С.47-49.
3. Фуфаев В.В. Оптимизация структуры проектируемого и эксплуатируемого электрооборудования // Сб. науч. тр. №90. М.: Моск. энерг. ин-т. 1986. с.31-40.