Б.И. Кудрин, А.Е. Якимов, В.В. Фуфаев - Моделирование структуры установленного электрооборудования распределением простых чисел

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ УСТАНОВЛЕННОГО ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Кудрин Б.И., Якимов А.Е., Фуфаев В.В.

// Сб. науч. Труд № 125. М.: Моск. Энерг. Ин-т, 1987. С. 24-29.

Поток разнообразного электрооборудования (ЭО), поступающего на промышленное предприятие, формируется под действием двух альтернативных тенденций. Практически можно считать, что условия эксплуатации и производственные функции любой пары изделий родственного ЭО, установленного на промышленном предприятии, всегда имеют различия. Это способствует увеличению разнообразия типоразмеров ЭО.

Желание эксплуатационных и ремонтных служб иметь однородное ЭО снижает разнообразие типоразмеров. Эти тенденции выражаются в двух явлениях: «рассеяния» семейства ЭО по разным типоразмерам и противоположного ему явления «концентрации» в одном типоразмере. Между этими двумя альтернативными формами существуют переходные, все вместе которые образуют Н-распределение [1], характерное для электрических ценозов.

Эмпирические Н-распределения (распределения установленного ЭО на промышленном предприятии; выборки его, попадающие в электроремонтное производство) в большей или меньшей степени страдают недостаточной достоверностью, определяющейся качеством учета типоразмеров, малочисленны. Для исследования механизма образования Н-распределения было предложено [2] каноническое разложение целого положительного числа a=n! на простые сомножители

(1)

где p_k_-1<p_k – простые числа; p₁=2, p₂=3, …, . Всего видов простых чисел s=p(n), p_s – наибольшее простое число. Показатели степени определяют число простых сомножителей p_kразложения чисел натурального ряда от 2 до n. Распределение есть ранговое распределение – ранг числа . Видовая форма распределения удовлетворяет аксиомам Н-распределения [1]. Каноническое разложение (1) доступно любому исследователю как инструмент для изучения свойств Н-распределения, поскольку его объектами являются простые сомножители. Используем его для оптимизации соотношения между количеством установленного ЭО на промышленном предприятии и количеством его типоразмеров.

Размер системного пространства для канонического разложения (1) определяется как , объем этажа строго равен общему количеству чисел натурального ряда, подлежащих разбиению на простые сомножители. Огибающая распределения для неоднородных каст описывается зависимостью для непрерывного аналога

(2)

где - численность популяции; для однородных каст

(3)

где - объем элемента однородной касты.

Для канонического разложения (1) дискретный аналог аргумента x j=p_k– 1, где - простые числа. Доказана теорема о степени заполнения объема этажа, заселенного элементами однородной касты (существует количественный критерий оценивания величины (3) при переходе к дискретным значениям). Аксиома 4 из [1] определяет огибающую распределения видов (2). Рассмотрим переход от огибающей распределения собственно к распределению. Представим его в виде непрерывного аналога.

(4)

где , .

Все эмпирические распределения дискретны. В каноническом разложении по одному разу встречаются сомножители p_k, удовлетворяющие неравенству , их всего ; по два , их всего ; встречаются i раз сомножители , . Распределение W(i) – дискретный аналог распределения (4). Дискретный и непрерывный аналоги можно связать отношением

(5)

где i=N(j) – численность популяции; j – целочисленные значения; N(1) – численность самой многочисленной популяции; j – ранговый номер вида. Нижний предел интегрирования в (5) корректней выбрать по Z(x) из (3), где i=N(j)=[Z(j)] – целая часть числа Z(j); j – площадь под кривой . Параметр определяет «местоположение» популяции на оси абсцисс (значение N(j)). Если , то N(j)=Z(j), в общем случае для аргумента х функции Z(x) можно записать , где j=[x] – целая часть числа х.

(6)

Что позволяет получить зависимость , где , . Принимается площадь равной , значение i=1,5 можно найти из приближенного равенства этой площади и площади трапеции с высотой, равной 1, и средней линией трапеции длиной W(1). На самом деле выпукла вниз и по данным таблицы i=1,42 (из равенства ). В таблице: u – число элементов системы; u/s – повторяемость вида (средняя численность популяции). Значения ρ, min ρ, max ρ, α, даны в тысячных долях.

Таким образом, (4) связывает численность однородных и неоднородных каст, в то время как огибающие (2) и (3) у них отличны друг от друга.

Модель (2) двухпараметрическая. В (4) приведено три параметра. Получим теоретическую зависимость α=α(R,ρ). По данным таблицы, примерное эмпирическое равенство α≈W(1)/s выполняется в большом динамическом диапазоне изменения R. Показатель степени ρ отличается устойчивостью, в таблице приведены его значения наряду с оценками min ρ и max ρ, получаемыми из (5) путем перебора значений i=N(j) для , где k – последний номер в сквозной нумерации каст.

Таким образом, аксиомы Н-распределения дают различающиеся зависимости (2) и (3) для огибающей распределения. Собственно Н-распределение (4) в записи применимо для всей области существования . Для двухпараметрического описания необходимо теоретически определить зависимость . Эмпирические оценки параметров и ρ получены для канонического разложения и приведены в таблице.

Для оптимизации соотношения между количеством установленного ЭО и количеством его типоразмеров в таблице приведены обобщающие характеристики Н-распределения, генерируемого из канонического разложения (1).

Модель распределения простых сомножителей в разложении чисел натурального ряда может быть использована для оценки оптимальности построения структуры множества установленного ЭО с точки зрения затрат на электроремонт. Примем в качестве рабочей гипотезы, что каноническое разложение порождает оптимальное Н-распределение.

Суммарная трудоемкость электроремонта, например, электрических двигателей, зависит от структуры:

(7)

где Т_ср– трудоемкость обслуживания электрического двигателя средней мощности с учетом процентного содержания электрических двигателей различной категории сложности,; β – коэффициент, характеризующий интенсивность технологического процесса ремонта, т.е. характеризующий снижение трудоемкости каждого ремонтируемого последующего одинакового электрического двигателя. Экспертно определено, что для электроремонтных цехов промышленных предприятий .

На основе обобщенных характеристик Н-распределения канонического разложения (таблица) может быть построена для заданного числа элементов ценоза u оптимальная структура любого эмпирического распределения ремонтируемого и установленного ЭО и оценена суммарная трудоемкость обслуживания . Разность даст трудоемкость виртуальной касты, которая и определяет отклонение от оптимальной трудоемкости обслуживания элементов ценоза. Изменяя структуру и соответственно , можно получить количественную оценку эффекта от мероприятий по унификации установленного ЭО (номограммы для расчетов) [3].

Распределение простых сомножителей в разложении числа n! Позволяет применить модель для сравнения двух ценозов различного объема по отклонению от оптимальной структуры в смысле эффективности электроремонта. По (7) рассчитывается суммарная трудоемкость обслуживания элементов структуры первого ценоза по u₁ и n₁ определяется его канонический аналог Н-распределения и оценивается относительная трудоемкость обслуживания (электроремонта) виртуальной касты , где n₁ из (1) – последнее число натурального ряда. То же делается для второго ценоза. Уменьшение относительной трудоемкости виртуальной касты ведет к снижению затрат на электроремонт, повышению производительности труда электроремонтного персонала. Последнее определяется резервом, скрытым в структуре множества установленного ЭО.

Обобщающие характеристики Н-распределения канонического разложения

Число n	R	s	u	W(1)	N(1)	k	ρ	min ρ	max ρ	α	W₀	W₁/s	u/s
101	10	26	240	11	97	11	793	723	863	301	22	423	9,2
401	20	79	1086	33	397	21	780	743	846	372	40	418	13,7
901	30	154	2578	67	896	31	823	757	842	422	129	435	16,7
1601	40	252	4728	113	1597	39	858	766	858	457	212	448	18,8
2501	50	367	7551	163	2495	47	847	771	850	466	309	444	20,6
3601	60	503	11054	225	3596	57	855	776	857	481	424	447	22,0
4901	70	654	15247	291	4895	63	849	778	856	487	551	445	23,3
6401	80	834	20127	382	6397	70	883	783	883	506	705	458	24,1
8101	90	1019	25705	461	8092	82	868	785	868	508	862	452	25,2
10001	100	1229	31987	560	9995	87	877	787	877	516	1040	456	26,0
12101	110	1448	38970	659	12093	97	875	789	875	520	1226	455	26,9
14401	120	1687	46666	768	14396	105	876	791	876	542	1430	455	27,7
16901	130	1949	55070	862	16897	113	882	792	882	530	1654	458	28,3
19601	140	2223	64177	1015	19595	121	879	794	882	533	1887	457	28,9
22501	150	2516	74008	1157	22491	128	888	796	888	593	2138	460	29,4
25601	160	2819	84556	1293	25597	140	885	797	887	541	2396	459	30,0
28901	170	3146	95818	1451	28893	144	892	798	892	546	2677	461	30,5
32401	180	3477	107805	1594	32392	154	884	799	886	546	2958	458	31,0
36101	190	3834	120515	1765	36095	160	889	800	891	550	3266	460	31,4
40001	200	4203	133947	1941	39995	167	893	801	893	553	3580	462	31,9

Литература

1. Кудрин Б.И. Якимов А.Е. Моделирование структуры множества изделий образующих электрические ценозы // Межвуз. сб. тр. №37. М.: Моск. энерг. Ин-т. 1984. С. 34-39.

2. Кудрин Б.И. Якимов А.Е. Моделирование структуры ценозов арифметическими рядами // Экспериментальные исследования структуры и функции биологических систем. Докл. Моск. Об-ва испытателей природы. 1983. Общая биология. М.: Наука. 1985. С.47-49.

3. Фуфаев В.В. Оптимизация структуры проектируемого и эксплуатируемого электрооборудования // Сб. науч. тр. №90. М.: Моск. энерг. ин-т. 1986. с.31-40.